Задачи №12. Условия №12.1 (Москва) Найдите точку минимума функции y = x² + 3x - 44 lnx - 97.

Решение:

Для нахождения точки минимума функции \( y = x^2 + 3x - 44 \text{ln}(x) - 97 \) необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.

Найдем производную функции \( y' \):

\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 3x - 44 \text{ln}(x) - 97) \]

\[ y' = 2x + 3 - \frac{44}{x} \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 2x + 3 - \frac{44}{x} = 0 \]

Умножим все члены уравнения на \( x \) (при условии \( x > 0 \), так как \( \text{ln}(x) \) определен только для \( x > 0 \)):

\[ 2x^2 + 3x - 44 = 0 \]

Решим квадратное уравнение \( 2x^2 + 3x - 44 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(-44) = 9 + 352 = 361 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\[ x_1 = \frac{-b + \text{sqrt}(D)}{2a} = \frac{-3 + \text{sqrt}(361)}{2 \times 2} = \frac{-3 + 19}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \text{sqrt}(D)}{2a} = \frac{-3 - 19}{4} = \frac{-22}{4} = -5.5 \]

Поскольку область определения функции \( y = x^2 + 3x - 44 \text{ln}(x) - 97 \) — это \( x > 0 \), то \( x_2 = -5.5 \) не подходит.

Единственный критический корень — \( x = 4 \).

Теперь проверим, является ли эта точка точкой минимума, с помощью второй производной или методом интервалов.

Найдем вторую производную \( y'' \):

\[ y'' = \frac{d}{dx}(2x + 3 - \frac{44}{x}) = 2 + \frac{44}{x^2} \]

Подставим \( x = 4 \) во вторую производную:

\[ y''(4) = 2 + \frac{44}{4^2} = 2 + \frac{44}{16} = 2 + 2.75 = 4.75 \]

Так как \( y''(4) > 0 \), то при \( x = 4 \) функция имеет минимум.

Ответ: Точка минимума функции находится при x = 4.