Задачи: 1. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое ребро равно 3. Найдите объём пирамиды. Ответ: 4,5 2.Основанием прямой призмы является ромб с острым углом 60° и меньшей диагональю 6 см. Площадь боковой поверхности призмы 72√3 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и большую диагональ основания.

Ответ: 4,5

Задача 1

Так как боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и каждое ребро равно 3, объем пирамиды можно вычислить по формуле:

\[ V = \frac{1}{6} \cdot a \cdot b \cdot c \]

где a, b, c - длины взаимно перпендикулярных ребер.

В данном случае, a = b = c = 3.

Тогда:

\[ V = \frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = \frac{27}{6} = 4.5 \]

Ответ: 4,5

Задача 2

Ответ: 54 см²

Основанием прямой призмы является ромб с острым углом 60° и меньшей диагональю 6 см. Площадь боковой поверхности призмы 72√3 см². Нужно найти площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и большую диагональ основания.

1. Найдем сторону ромба:

   Так как меньшая диагональ ромба лежит против угла в 60°, то ромб состоит из двух равносторонних треугольников. Следовательно, сторона ромба равна меньшей диагонали:

   \[a = 6 \text{ см}\]

2. Найдем большую диагональ ромба:

   Большая диагональ ромба состоит из двух высот равностороннего треугольника со стороной 6 см. Высота равностороннего треугольника равна \[\frac{\sqrt{3}}{2}a\].

   Следовательно, большая диагональ равна:

   \[d = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 6 = 6\sqrt{3} \text{ см}\]

3. Найдем высоту призмы:

   Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:

   \[S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h\]

   Периметр основания (ромба) равен:

   \[P_{\text{осн}} = 4 \cdot a = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}\]

   Тогда высоту призмы можно найти как:

   \[h = \frac{S_{\text{бок}}}{P_{\text{осн}}} = \frac{72\sqrt{3}}{24} = 3\sqrt{3} \text{ см}\]

4. Найдем площадь сечения призмы:

   Сечение призмы, проходящее через боковое ребро и большую диагональ основания, является прямоугольником со сторонами, равными высоте призмы и большей диагонали основания.

   Площадь сечения равна:

   \[S_{\text{сеч}} = d \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 18 \cdot 3 = 54 \text{ см}^2\]

Ответ: 54 см²