Решение задач:

Задача 1:

Для первого тела:

• Начальная координата: $$x_{01} = 30 \text{ м}$$
• Проекция скорости: $$v_{1} = 5 \text{ м/с}$$, направление положительное (движение в положительном направлении оси координат)

Для второго тела:

• Начальная координата: $$x_{02} = 120 \text{ м}$$
• Проекция скорости: $$v_{2} = -10 \text{ м/с}$$, направление отрицательное (движение в отрицательном направлении оси координат)

Чтобы найти время и место встречи, приравняем координаты тел:

$$x_1 = x_2$$ $$30 + 5t = 120 - 10t$$ $$15t = 90$$ $$t = 6 \text{ с}$$

Теперь найдем место встречи, подставив время в любое из уравнений (например, в первое):

$$x = 30 + 5 \cdot 6 = 30 + 30 = 60 \text{ м}$$

Ответ: Время встречи: $$6 \text{ с}$$, Место встречи: $$60 \text{ м}$$

Задача 2:

Пусть первый автомобиль начинает движение из точки с координатой $$x_0 = 0$$. Тогда уравнение его движения:

$$x_1 = 10t$$

Второй автомобиль движется навстречу, и расстояние между ними 3 км (3000 м). Тогда уравнение его движения:

$$x_2 = 3000 - 20t$$

Чтобы найти время и место встречи, приравняем координаты:

$$10t = 3000 - 20t$$ $$30t = 3000$$ $$t = 100 \text{ с}$$

Теперь найдем место встречи:

$$x = 10 \cdot 100 = 1000 \text{ м}$$

Ответ: Время встречи: $$100 \text{ с}$$, Место встречи: $$1000 \text{ м}$$ (1 км) от начальной координаты первого автомобиля.

Задача 3:

Сначала переведем скорость автобуса и автомобиля в м/с:

$$v_{\text{автобуса}} = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$$ $$v_{\text{автомобиля}} = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$$

Автобус выехал на 5 минут (300 секунд) раньше. За это время он проехал:

$$S = v_{\text{автобуса}} \cdot t = 15 \cdot 300 = 4500 \text{ м}$$

Теперь рассмотрим движение автомобиля относительно автобуса. Относительная скорость:

$$v_{\text{отн}} = v_{\text{автомобиля}} - v_{\text{автобуса}} = 20 - 15 = 5 \text{ м/с}$$

Время, через которое автомобиль догонит автобус:

$$t = \frac{S}{v_{\text{отн}}} = \frac{4500}{5} = 900 \text{ с}$$

Расстояние от заправочной станции:

$$S_{\text{общ}} = v_{\text{автобуса}} \cdot (300 + 900) = 15 \cdot 1200 = 18000 \text{ м} = 18 \text{ км}$$

Ответ: Автомобиль догонит автобус через 900 с (15 минут) после своего выезда, на расстоянии 18 км от заправочной станции.