Задачи для самостоятельного решения 1. Какой должна быть температура нагревателя, для того чтобы стало возможным достижение значения КПД тепловой машины 80%, если температура холодильника 27 °С? 2. В процессе работы тепловой машины за некоторое время рабочим телом было получено от нагревателя количество теплоты Q1 = 1,5 * 10^6 Дж, передано холодильнику количество теплоты Q2 = -1,2 * 10^6 Дж. Вычислите КПД машины и сравните его с максимально возможным КПД, если температуры нагревателя и холодильника соответственно равны 250 °С и 30 °C. 3. В паровой турбине для получения пара с температурой 250 °С сжигают дизельное топливо массой 0,35 кг. При этом пар совершает работу 1 кВт * ч. Температура холодильника 30 °С. Вычислите КПД турбины. Удельная теплота сгорания дизельного топлива 42 МДж/кг. 4. В цилиндре находится газ, для нагревания которого сжигают нефть массой 2 кг с удельной теплотой сгорания 4,3 * 10^7 Дж/кг. Расширяясь, газ совершает работу 10 кВт * ч. На сколько изменилась внутренняя энергия газа? Чему равен КПД установки? 5. Двигатель автомобиля развивает мощность 25 кВт. Определите КПД двигателя, если при скорости 60 км/ч он потребляет 12 л бензина на 100 км пути. Плотность бензина 700 кг/м³. При сгорании 1 кг бензина выделяется количество теплоты, равное 4,5 * 10^7 Дж.

1.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой КПД идеальной тепловой машины (цикла Карно):

$$η = 1 - \frac{T_2}{T_1}$$,

где ( η ) - КПД, ( T_1 ) - температура нагревателя (в Кельвинах), ( T_2 ) - температура холодильника (в Кельвинах).

Дано:

• ( η = 80% = 0,8 )
• ( T_2 = 27 °C = 27 + 273,15 = 300,15 K )

Нужно найти ( T_1 ).

Выразим ( T_1 ) из формулы КПД:

$$η = 1 - \frac{T_2}{T_1}$$ $$\frac{T_2}{T_1} = 1 - η$$ $$T_1 = \frac{T_2}{1 - η}$$

Подставим значения и вычислим:

$$T_1 = \frac{300,15}{1 - 0,8} = \frac{300,15}{0,2} = 1500,75 K$$

Переведем в градусы Цельсия:

$$T_1 = 1500,75 - 273,15 = 1227,6 °C$$

Ответ: Температура нагревателя должна быть примерно 1227,6 °C.

2.

Сначала найдем КПД машины по формуле:

$$η = \frac{Q_1 - |Q_2|}{Q_1}$$,

где ( Q_1 ) - тепло, полученное от нагревателя, ( Q_2 ) - тепло, переданное холодильнику.

Дано:

• ( Q_1 = 1,5 \cdot 10^6 ) Дж
• ( Q_2 = -1,2 \cdot 10^6 ) Дж

Вычислим КПД:

$$η = \frac{1,5 \cdot 10^6 - | -1,2 \cdot 10^6 |}{1,5 \cdot 10^6} = \frac{1,5 \cdot 10^6 - 1,2 \cdot 10^6}{1,5 \cdot 10^6} = \frac{0,3 \cdot 10^6}{1,5 \cdot 10^6} = 0,2 = 20 \%$$

Теперь найдем максимально возможный КПД (КПД идеальной тепловой машины):

$$η_{max} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$$,

где ( T_1 ) - температура нагревателя, ( T_2 ) - температура холодильника.

Дано:

• ( T_1 = 250 °C = 250 + 273,15 = 523,15 K )
• ( T_2 = 30 °C = 30 + 273,15 = 303,15 K )

Вычислим ( η_{max} ):

$$η_{max} = 1 - \frac{303,15}{523,15} ≈ 1 - 0,579 = 0,421 = 42,1 \%$$

Сравнение: КПД реальной машины (20%) значительно меньше максимально возможного КПД (42,1%).

Ответ: КПД машины равен 20%, максимально возможный КПД равен 42,1%.

3.

Дано:

• ( m = 0,35 ) кг (масса дизельного топлива)
• ( T_1 = 250 ) °C = 523,15 K (температура нагревателя)
• ( T_2 = 30 ) °C = 303,15 K (температура холодильника)
• ( A = 1 ) кВт * ч = 3,6 * 10^6 Дж (работа)
• ( q = 42 ) МДж/кг = 42 * 10^6 Дж/кг (удельная теплота сгорания)

Сначала найдем количество теплоты, выделившееся при сгорании топлива:

$$Q = m \cdot q = 0,35 \cdot 42 \cdot 10^6 = 14,7 \cdot 10^6 Дж$$

Теперь найдем КПД турбины:

$$η = \frac{A}{Q} = \frac{3,6 \cdot 10^6}{14,7 \cdot 10^6} ≈ 0,245 = 24,5 \%$$

Ответ: КПД турбины равен примерно 24,5%.

4.

Дано:

• ( m = 2 ) кг (масса нефти)
• ( q = 4,3 \cdot 10^7 ) Дж/кг (удельная теплота сгорания)
• ( A = 10 ) кВт * ч = 36 * 10^6 Дж (работа)

Найдем количество теплоты, выделившееся при сгорании нефти:

$$Q = m \cdot q = 2 \cdot 4,3 \cdot 10^7 = 8,6 \cdot 10^7 Дж$$

Изменение внутренней энергии газа:

$$\Delta U = Q - A = 8,6 \cdot 10^7 - 3,6 \cdot 10^7 = 5 \cdot 10^7 Дж$$

Теперь найдем КПД установки:

$$η = \frac{A}{Q} = \frac{3,6 \cdot 10^7}{8,6 \cdot 10^7} ≈ 0,419 = 41,9 \%$$

Ответ: Внутренняя энергия газа изменилась на 5 * 10^7 Дж, КПД установки равен примерно 41,9%.

5.

Дано:

• ( P = 25 ) кВт = 25000 Вт (мощность двигателя)
• ( L = 12 ) л = 0,012 м³ (объем бензина на 100 км)
• ( s = 100 ) км = 100000 м (путь)
• ( ρ = 700 ) кг/м³ (плотность бензина)
• ( q = 4,5 \cdot 10^7 ) Дж/кг (удельная теплота сгорания)

Найдем массу бензина, потребленного на 100 км:

$$m = ρ \cdot V = 700 \cdot 0,012 = 8,4 кг$$

Найдем количество теплоты, выделившееся при сгорании этого количества бензина:

$$Q = m \cdot q = 8,4 \cdot 4,5 \cdot 10^7 = 37,8 \cdot 10^7 Дж$$

Найдем время, за которое автомобиль проезжает 100 км при скорости 60 км/ч:

$$t = \frac{s}{v} = \frac{100}{60} = \frac{5}{3} ч = \frac{5}{3} \cdot 3600 = 6000 с$$

Найдем работу, совершенную двигателем:

$$A = P \cdot t = 25000 \cdot 6000 = 15 \cdot 10^7 Дж$$

Теперь найдем КПД двигателя:

$$η = \frac{A}{Q} = \frac{15 \cdot 10^7}{37,8 \cdot 10^7} ≈ 0,397 = 39,7 \%$$

Ответ: КПД двигателя равен примерно 39,7%.