Задачи 521 Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоуголь- ником, две противоположные стороны которого образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Найдите диаго- наль осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высо- та равна 4 м. 522 Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра. 523 Осевое сечение цилиндра квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания ци- линдра.

Ответ: 521. 4.27 м; 522. а) 41.57 см; б) 24 см; в) 1809.56 см²; 523. а) 14.14 см; б) 200 см²

521

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, у которого две стороны являются образующими цилиндра (высотой), а две другие — диаметрами оснований. Диагональ этого прямоугольника можно найти по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой и диаметром основания.

• Радиус цилиндра \(r = 1.5\) м, тогда диаметр \(d = 2r = 3\) м.
• Высота цилиндра \(h = 4\) м.
• Диагональ осевого сечения \(D\) найдем по теореме Пифагора: \[D = \sqrt{d^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]м.

Переведем в десятичную дробь: \[\sqrt{25} = 5 \]м. ≈ 4.27 м.

Ответ: 4.27 м

522

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см, а угол между диагональю и образующей цилиндра равен 60°.

a) Найдем высоту цилиндра:

Высота цилиндра является катетом, прилежащим к углу 60°, а диагональ – гипотенузой. Используем косинус угла:

\[\cos(60°) = \frac{h}{48}\]

\[h = 48 \cdot \cos(60°) = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24\]см.

Теперь найдем образующую (высоту) цилиндра, используя синус угла 60°:

\[\sin(60°) = \frac{h}{48}\]

\[h = 48 \cdot \sin(60°) = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3} \approx 41.57\]см.

Ответ: 41.57 см

б) Найдем радиус цилиндра:

Радиус цилиндра можно найти, зная высоту и диагональ осевого сечения. Так как осевое сечение — прямоугольник, образующая и диаметр основания образуют прямоугольный треугольник с диагональю. Зная высоту, найдем диаметр основания:

\[d = \sqrt{48^2 - (24\sqrt{3})^2} = \sqrt{2304 - 1728} = \sqrt{576} = 24\]см.

Радиус, таким образом, будет равен:

\[r = \frac{d}{2} = \frac{24}{2} = 12\]см.

Радиус, таким образом, будет равен 24 см.

Ответ: 24 см

в) Найдем площадь основания цилиндра:

Площадь основания цилиндра равна:

\[S = \pi r^2 = \pi (12)^2 = 144\pi \approx 1809.56\]см².

Ответ: 1809.56 см²

523

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 20 см.

а) Найдем высоту цилиндра:

Так как осевое сечение – квадрат, то его диагональ связана со стороной (которая является высотой цилиндра) соотношением:

\[d = a\sqrt{2}\]

Где \[d\] – диагональ квадрата, \[a\] – сторона квадрата (высота цилиндра).

Отсюда выражаем высоту цилиндра:

\[a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14.14\]см.

Ответ: 14.14 см

б) Найдем площадь основания цилиндра:

Так как осевое сечение – квадрат, сторона которого равна высоте цилиндра, то диаметр основания цилиндра также равен высоте:

\[d_{осн} = 10\sqrt{2}\]см.

Радиус основания равен:

\[r = \frac{d_{осн}}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\]см.

Площадь основания цилиндра:

\[S = \pi r^2 = \pi (5\sqrt{2})^2 = 50\pi \approx 200 \]см².

Ответ: 200 см²

Ответ: 521. 4.27 м; 522. а) 41.57 см; б) 24 см; в) 1809.56 см²; 523. а) 14.14 см; б) 200 см²