Задачи и упражнения на готовых чертежах Таблица 7.12. Окружность центр окружности. 1 2 3 A B B 12 A A C D C C B Дано: AD||ВС Доказать: АB-BC. Доказать: 1=22. Доказать: AD=BC. 4 5 B 61) Дано: ABI OD. Доказать: АK = KB. B C 1 0 2 A C E F AOD / K A B D Доказать: 12=221. Доказать: CD = BA. 2) Дано: АK = KB. Доказать: АB I OD. 7 8 9 C D C A C P A D K B D B A B Дано: АВ=CD. Доказать: ОK = OP. Доказать: АВ || CD. Доказать: AD = BC.

1. Дано: AD || BC. Доказать: AD = BC.

Решение:

• Так как AD || BC, то дуги AD и BC равны (как дуги, заключенные между параллельными хордами).
• Равные дуги стягивают равные хорды, следовательно, AD = BC.

2. Доказать: AB = BC.

Решение:

• Угол AOC - центральный, опирается на дугу AC.
• Угол ABC - вписанный, опирается на дугу AC.
• Центральный угол AOC равен вписанному углу ABC.
• Так как треугольник AOB и COB равнобедренные, то AO = OC = OB (радиусы).
• Следовательно, треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC.
• Отсюда AB = BC.

3. Доказать: ∠1 = ∠2.

Решение:

• ∠1 и ∠2 - вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AC.
• Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
• Следовательно, ∠1 = ∠2.

4. Доказать: ∠2 = ∠1.

Решение:

• ∠1 - вписанный угол, опирающийся на дугу BC.
• ∠2 - вписанный угол, опирающийся на дугу AC.
• Если равные хорды (или дуги), то и углы ∠1 = ∠2.

5. Доказать: CD = BA.

Решение:

• OA = OD (как радиусы).
• ∠AOD = 90°.
• OB = OC (как радиусы).
• ∠BOC = 90°.
• Так как ∠AOD = ∠BOC, то дуги AD и BC равны.
• В равных окружностях равные дуги стягиваются равными хордами.
• Следовательно, CD = BA.

6. 1) Дано: AB ⊥ OD. Доказать: AK = KB. 2) Дано: AK = KB. Доказать: AB ⊥ OD.

Решение:

• 1) Если радиус OD перпендикулярен хорде AB, то он делит её пополам. Следовательно, AK = KB.
• 2) Если радиус OD делит хорду AB пополам, то он перпендикулярен ей. Следовательно, AB ⊥ OD.

7. Дано: AB = CD. Доказать: OK = OP.

Решение:

• AB = CD (по условию).
• Расстояния от центра окружности до равных хорд равны.
• Следовательно, OK = OP.

8. Доказать: AB || CD.

Решение:

• ∠AOB и ∠COD - вертикальные.
• ∠AOB = ∠COD.
• Если ∠AOB = ∠COD, то дуги AB и CD равны.
• Если дуги AB и CD равны, то хорды AB и CD параллельны.
• Следовательно, AB || CD.

9. Доказать: AD = BC.

Решение:

• Рассмотрим окружности с общим центром.
• ∠AOD = ∠BOC (вертикальные).
• Тогда AD = BC (как хорды, опирающиеся на равные углы).