Задачи и упражнения Задание 1 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С и ∠A = 60° проведена биссектриса AD. В треугольнике ABD провели высоту DH. Найдите равные прямоугольные треугольники и докажите их равенство. Задание 2 В треугольнике АВС проведена биссектриса BL. В получившихся треугольниках проведены биссектрисы LK и LN углов ALB и BLC соответственно, которые оказались параллельны сторонам треугольника АВС. Определите вид треугольника АВС.

Задание 1

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C и углом A = 60° проведена биссектриса AD. В треугольнике ABD провели высоту DH. Найдите равные прямоугольные треугольники и докажите их равенство.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как угол C = 90°, угол A = 60°, то угол B = 180° - 90° - 60° = 30°.

2. AD - биссектриса угла A, следовательно, угол CAD = угол BAD = 60° / 2 = 30°.

3. Рассмотрим треугольник ABD. В нем угол BAD = 30°, угол B = 30°, следовательно, треугольник ABD - равнобедренный с основанием AB. Значит, AD = BD.

4. DH - высота треугольника ABD, следовательно, угол DHD = 90°.

5. Рассмотрим треугольники AHD и DHD. У них:

• AD = BD (из пункта 3),
• угол AHD = угол DHB = 90°,
• угол HAD = угол HBD = 30°.

Следовательно, треугольники AHD и DHD равны по гипотенузе и острому углу.

Ответ: Треугольники AHD и DHD равны.

Неплохое начало! У тебя все получиться, продолжай в том же духе!

Задание 2

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. В получившихся треугольниках проведены биссектрисы LK и LN углов ALB и BLC соответственно, которые оказались параллельны сторонам треугольника ABC. Определите вид треугольника ABC.

Решение:

Пусть LK || AB и LN || BC. Так как LK - биссектриса угла ALB, то угол ALK = угол KLB. Так как LK || AB, то угол ALK = угол LAB (накрест лежащие углы). Обозначим эти углы за x. Тогда угол ALB = 2x.

Аналогично, так как LN - биссектриса угла BLC, то угол BLN = угол NLC. Так как LN || BC, то угол BLN = угол LBC (накрест лежащие углы). Обозначим эти углы за y. Тогда угол BLC = 2y.

Так как BL - биссектриса угла B, то угол ABL = угол LBC = y.

Рассмотрим треугольник ABC. Угол A = угол LAB = x, угол B = угол ABL + угол LBC = y + y = 2y.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, угол A + угол B + угол C = 180°. То есть x + 2y + угол C = 180°.

Рассмотрим четырехугольник ABLC. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Значит, угол A + угол B + угол C + угол ALB + угол BLC = 360°. То есть x + 2y + угол C + 2x + 2y = 360°.

Выразим угол C из первого уравнения: угол C = 180° - x - 2y. Подставим это выражение во второе уравнение: x + 2y + (180° - x - 2y) + 2x + 2y = 360°.

Тогда 180° + 2x + 2y = 360°, следовательно, 2x + 2y = 180°, а x + y = 90°.

Так как x + y = 90°, то угол C = 180° - x - 2y = 180° - (x + y) - y = 180° - 90° - y = 90° - y.

Если угол C = 90° - y, то треугольник ABC - прямоугольный.

Ответ: Треугольник ABC - прямоугольный.

Прекрасно! Ты отлично справляешься! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!