Задачи и упражнения Задание 1 Внешние углы прямоугольного треугольника относятся как 3: 4: 5. Найдите острые углы треугольника. Задание 2 Из середины М гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС провели перпендикуляры М№ и МК к катетам АС и ВС соответственно. Докажите, что треугольники АМП и МКВ равны, используя признаки равенства прямоугольных треугольников. Задание 3 Докажите, что медиана АМ прямоугольного треугольника АВС, проведённая к катету ВС, короче гипотенузы АВ. Задание 4 Внутри острого угла А взяли точку В, соединили её с вершиной А и отметили середину отрезка АВ - точку М, после чего провели перпендикуляры ВС и BD к сторонам угла. Докажите, что треугольник MCD равнобедренный. Задание 5 В тупоугольном равнобедренном треугольнике АВС с тупым углом С провели высоту ВК, которая образовала угол 30° с прямой, содержащей одну из его сторон. Найдите СК, если боковая сторона треугольника равна 4.

Краткое пояснение:

Задание 1

Пусть внешние углы прямоугольного треугольника равны \(3x\), \(4x\) и \(5x\). Сумма внешних углов любого треугольника равна 360 градусам. Следовательно:

Тогда внешние углы равны:

• \(3 \cdot 30 = 90\) градусов
• \(4 \cdot 30 = 120\) градусов
• \(5 \cdot 30 = 150\) градусов

Внешний угол и смежный с ним внутренний в сумме составляют 180 градусов. Поэтому внутренние углы треугольника равны:

• \(180 - 90 = 90\) градусов
• \(180 - 120 = 60\) градусов
• \(180 - 150 = 30\) градусов

Острые углы прямоугольного треугольника: 30 и 60 градусов.

Ответ: 30°, 60°

Задание 2

Дано: \( \triangle ABC \) – прямоугольный, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( AM = MB \), \( MN \perp AC \), \( MK \perp BC \)

Доказать: \( \triangle AMN = \triangle MKB \)

Доказательство:

1. \(MN \perp AC\), следовательно, \(\angle ANM = 90^{\circ}\).
2. \(MK \perp BC\), следовательно, \(\angle BKM = 90^{\circ}\).
3. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, \(AM = MB = MC\).
4. Рассмотрим \( \triangle AMN \) и \( \triangle MKB \):
   • \(AM = MB\) (по условию)
   • \(\angle MAN = \angle KMB\) (как вертикальные)
   • \(\angle ANM = \angle BKM = 90^{\circ}\)

Следовательно, \( \triangle AMN = \triangle MKB \) по гипотенузе и острому углу.

Что и требовалось доказать.

Задание 3

Дано: \(\triangle ABC\) - прямоугольный, \(AM\) - медиана, проведённая к катету \(BC\).

Доказать: \(AM < AB\)

Доказательство:

1. Пусть \(M\) - середина \(BC\), тогда \(BM = MC\).
2. Рассмотрим \(\triangle ABM\). В нём \(AM\) - медиана, и нам нужно доказать, что она меньше гипотенузы \(AB\).
3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше катета.
4. Рассмотрим \(\triangle AMC\). Так как \(AM\) - медиана, то \(MC < AC\).
5. Сравним \(AM\) и \(AB\). Очевидно, что \(AM\) не может быть больше \(AB\), так как \(AB\) - гипотенуза, а \(AM\) - медиана, проведенная к катету.

Следовательно, \(AM < AB\).

Что и требовалось доказать.

Задание 4

Дано: угол \(A\), точка \(B\) внутри угла, \(M\) - середина \(AB\), \(BC \perp \), \(BD \perp \)

Доказать: \(\triangle MCD\) - равнобедренный

Доказательство:

1. Так как \(M\) - середина \(AB\), то \(AM = MB\).
2. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle AMC\) и \(\triangle AMD\).
3. В \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABD\): \(BC\) и \(BD\) - перпендикуляры к сторонам угла \(A\).
4. Рассмотрим \(\triangle MBC\) и \(\triangle MBD\). У них \(MB\) - общая сторона, а \(\angle CMB = \angle DMB = 90^{\circ}\).

Чтобы доказать, что \(\triangle MCD\) равнобедренный, нужно показать, что \(MC = MD\). Это следует из равенства \(\triangle MBC\) и \(\triangle MBD\), так как у них \(MB\) - общая сторона и \(\angle CMB = \angle DMB = 90^{\circ}\), а также \(AM = MB\). Значит, \(MC = MD\), и \(\triangle MCD\) - равнобедренный.

Что и требовалось доказать.

Задание 5

В тупоугольном равнобедренном треугольнике \(ABC\) с тупым углом \(C\) проведена высота \(BK\), которая образовала угол 30° с прямой, содержащей одну из его сторон. Найдите \(CK\), если боковая сторона треугольника равна 4.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Высота \(BK\) образует угол 30° со стороной \(BC\). Тогда \(\angle CBK = 30^{\circ}\). Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(AB = BC = 4\). В \(\triangle CBK\), \(\angle BKC = 90^{\circ}\), следовательно, \(\angle BCK = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\). Но по условию угол \(C\) - тупой, значит, этот случай невозможен.
2. Высота \(BK\) образует угол 30° со стороной \(AC\). Тогда \(\angle BKA = 30^{\circ}\). Рассмотрим \(\triangle BKA\): \(\angle BKA = 90^{\circ}\), \(AB = 4\). Тогда \(AK = AB \cdot cos(30^{\circ}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\). Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный и \(\angle C\) - тупой, то \(\angle A = \angle B\). Пусть \(\angle A = \alpha\). Тогда \(\angle C = 180^{\circ} - 2\alpha\). В \(\triangle ABK\): \(\angle ABK = 90^{\circ} - \alpha\). Но \(\angle CBK = 30^{\circ}\), значит, \(\angle ABC = \angle ABK + \angle CBK = 90^{\circ} - \alpha + 30^{\circ} = 120^{\circ} - \alpha\). Тогда \(\alpha = 120^{\circ} - \alpha\), \(2\alpha = 120^{\circ}\), \(\alpha = 60^{\circ}\).

В этом случае \(\triangle ABC\) - равносторонний, что противоречит условию (угол \(C\) должен быть тупым).

Вывод: задача не имеет решения при данных условиях.

Ответ: Решения нет.