Задачи из правой части

Задачи из правой части

1. Обоснование решения

­

• Верное доказательство утверждения, основанное на точном решении, без логических ошибок.
• Получен верный ответ, при этом пункт 'а' не выполнен.
• Ответ не соответствует ни одному из предложенных вариантов.

2. Решение

Рассмотрим значения \( a \), при каких уравнение \( \cos x = a \) на отрезке \( [\pi; 6\pi] \) имеет ровно 10+k корней.

Случай 1: \( a > 0 \).

Последовательность положений корней:

\( x_1 = \arccos 0.6 \), \( t_2 = 2\pi - \arccos 0.6 \)

\( x_2 = 2\pi + \arccos 0.6 \), \( t_2 = 4\pi - \arccos 0.6 \)

\( x_n = (n-1)\pi + \arccos 0.6 \), \( t_{2n} = 2n\pi - \arccos 0.6 \)

В отрезке \( [\pi; 6\pi] \) уравнение \( \cos x = 0.6 \) имеет ровно 10+k корней.

Случай 2: \( 0 \le a \le 1 \).

На отрезке \( [0; 6\pi] \) уравнение \( \cos x = a \) имеет 12 корней.

3. Анализ

Если \( \arccos 0.6 \) \( \le a \le \frac{k+10}{6} \)

Если \( \frac{\arccos 0.6}{\pi} < a \le k + \frac{\arccos 0.6}{\pi} \)

на отрезке \( [\pi; 6\pi] \) уравнение \( \cos x \) имеет ровно 10+k корней.