Задачи 254 Найдите углы равнобедренного прямоугольного тре- угольника. 255 В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ проведена высота CF. Найдите ∠ECF, если ∠D=54°. 256 Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов рав- на 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника. 257 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120°, АС+АВ=18 см. Найдите АС и АВ. 258 Из середины D стороны ВС равностороннего тре- угольника АВС проведен перпендикуляр DM к пря- мой АС. Найдите АМ, если АВ=12 см. 259 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведенная к бо- ковой стороне, равна 9 см. Найдите основание тре- угольника. 260 Высота, проведенная к основанию равнобедренного тре- угольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треуголь- ника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника. 261 Докажите, что в равнобедренном треугольнике вы- соты, проведенные из вершин основания, равны. 262 В треугольниках АВС и А,В,С, углы А и А₁ пря- мые, BD и BD₁ биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ∆АВС₁, если ∠B=∠B₁ и BD=B₁D₁. 263 Высоты, проведенные к боковым сторонам АВ И АС остроугольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольни- ка, если ∠BMC=140°. 264 Высоты АА, и ВВ, треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите АМВ, если ∠A=55°, ∠B=67°. 265 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектриса AF и высота АН. Найди- те углы треугольника AHF, если ∠B=112°. 266 На сторонах угла О отмечены точки А и В так что ОА-ОВ. Через эти точки проведены прямые перпендикулярные к сторонам угла и пересекающи еся в точке С. Докажите, что луч ОС — биссектрис угла О. 267 Докажите что два остроугольных треугольника ра

254

В равнобедренном прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, а два других угла равны между собой. Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, углы при основании равны (180° - 90°) / 2 = 45°.

Ответ: 90°, 45°, 45°

Проверка за 10 секунд: Углы 45°, 45° и 90° соответствуют равнобедренному прямоугольному треугольнику.

Доп. профит: База: Равнобедренный прямоугольный треугольник — это половина квадрата, разрезанного по диагонали.

255

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, ∠C = ∠E = (180° - ∠D) / 2 = (180° - 54°) / 2 = 63°.

Высота CF является и медианой, и биссектрисой, поэтому ∠ECF = ∠C / 2 = 63° / 2 = 31.5°.

Ответ: ∠ECF = 31.5°

Проверка за 10 секунд: Угол ∠ECF должен быть меньше угла ∠C.

Доп. профит: Редфлаг: Не путай высоту, медиану и биссектрису в равнобедренном треугольнике. Они совпадают только для угла при вершине.

256

Пусть гипотенуза равна c, а меньший катет равен a. Тогда c + a = 26.4 см. Так как один из углов равен 60°, то другой острый угол равен 30°, и меньший катет лежит против этого угла. Следовательно, a = c / 2.

Подставляем в первое уравнение: c + c / 2 = 26.4, откуда 3c / 2 = 26.4, и c = 17.6 см.

Ответ: 17.6 см

Проверка за 10 секунд: Гипотенуза должна быть больше катета.

Доп. профит: Читерский прием: В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы.

257

Так как внешний угол при вершине A равен 120°, то внутренний угол ∠A = 180° - 120° = 60°. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C = 90°, следовательно, ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°.

Катет AC лежит против угла 30°, поэтому AC = AB / 2. Подставляем это в уравнение AC + AB = 18 см, получаем AB / 2 + AB = 18, откуда 3AB / 2 = 18, и AB = 12 см. Тогда AC = 18 - 12 = 6 см.

Ответ: АС = 6 см, АВ = 12 см

Проверка за 10 секунд: Сумма AC и AB должна быть равна 18 см.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Используй свойства углов и сторон в прямоугольном треугольнике для решения задач любой сложности.

258

Так как треугольник ABC равносторонний, то все его углы равны 60°. DM перпендикулярен AC, следовательно, ∠DMA = 90°. Тогда в треугольнике ADM ∠DAM = 60°, ∠DMA = 90°, и ∠ADM = 30°.

AD = AB / 2 = 12 / 2 = 6 см. Катет AM лежит против угла 30°, поэтому AM = 2AD = 2 \cdot 6 = 12 см.

Ответ: АМ = 6 см

Проверка за 10 секунд: AM должно быть меньше AB.

Доп. профит: База: Используй свойства равностороннего треугольника для нахождения углов и сторон.

259

Пусть основание треугольника равно a, а боковая сторона равна b. Высота, проведенная к боковой стороне, равна 9 см. Угол при вершине равен 120°, следовательно, углы при основании равны (180° - 120°) / 2 = 30°.

Высота, проведенная к боковой стороне, образует прямоугольный треугольник с углом 30°. В этом треугольнике гипотенуза равна a, а катет, лежащий против угла 30°, равен 9 см. Следовательно, b = 2 \cdot 9 = 18 см.

Ответ: 18 см

Проверка за 10 секунд: Основание должно быть больше высоты, проведенной к боковой стороне.

Доп. профит: Редфлаг: Не перепутай, какая сторона является гипотенузой, а какая — катетом.

260

Пусть основание треугольника равно a, а боковая сторона равна b. Высота, проведенная к основанию, равна 7.6 см. Боковая сторона равна 15.2 см. Тогда sin(∠A) = 7.6 / 15.2 = 0.5, откуда ∠A = 30°.

Так как треугольник равнобедренный, то ∠B = ∠A = 30°. Тогда ∠C = 180° - 30° - 30° = 120°.

Ответ: 30°, 30°, 120°

Проверка за 10 секунд: Два угла должны быть равны, а сумма углов должна быть равна 180°.

Доп. профит: Читерский прием: Запомни основные значения синусов для углов 30°, 45° и 60°.

261

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC высоты, проведенные из вершин A и C, равны. Рассмотрим треугольники ABE и CBE, где BE - высота, проведенная из вершины B.

Треугольники ABE и CBE прямоугольные, AB = BC (по определению равнобедренного треугольника), и ∠BAE = ∠BCE (как углы при основании равнобедренного треугольника). Следовательно, треугольники ABE и CBE равны по гипотенузе и острому углу, и высоты AE и CE равны.

Что и требовалось доказать.

Проверка за 10 секунд: Высоты должны быть проведены к боковым сторонам.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Равенство высот — признак равнобедренного треугольника.

262

Рассмотрим треугольники BDD₁ и B₁D₁D. В них BD = B₁D₁ (по условию), ∠B = ∠B₁ (по условию), и DD₁ — общая сторона. Следовательно, треугольники BDD₁ и B₁D₁D равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда ∠BDD₁ = ∠B₁D₁D.

Так как BD и B₁D₁ — биссектрисы, то ∠ABD = ∠CBD и ∠AB₁D₁ = ∠CB₁D₁. Но ∠B = ∠B₁, следовательно, ∠ABD = ∠AB₁D₁ и ∠CBD = ∠CB₁D₁.

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. В них AB = A₁B₁ (как стороны равных треугольников), ∠A = ∠A₁ (как углы равных треугольников), и ∠B = ∠B₁ (по условию). Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Что и требовалось доказать.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что все условия равенства треугольников выполнены.

Доп. профит: База: Не забывай про признаки равенства треугольников.

263

В остроугольном равнобедренном треугольнике ABC высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC, пересекаются в точке M. Угол ∠BMC = 140°. Тогда ∠A = 180° - ∠BMC = 180° - 140° = 40°.

Так как треугольник равнобедренный, то ∠B = ∠C = (180° - ∠A) / 2 = (180° - 40°) / 2 = 70°.

Углы треугольника ABC равны 40°, 70° и 70°.

Ответ: ∠A = 40°, ∠B = 70°, ∠C = 70°

Проверка за 10 секунд: Углы должны соответствовать равнобедренному треугольнику.

Доп. профит: Редфлаг: Не путай углы между высотами и углами треугольника.

264

Высоты AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Угол ∠A = 55°, ∠B = 67°. Тогда ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 55° - 67° = 58°.

Угол ∠AMB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 55° - 67° = 58°.

Ответ: ∠AMB = 122°

Проверка за 10 секунд: Угол ∠AMB должен быть тупым.

Доп. профит: Читерский прием: Сумма углов в треугольнике равна 180°.

265

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектриса AF и высота AH. ∠B = 112°. Тогда ∠A = ∠C = (180° - ∠B) / 2 = (180° - 112°) / 2 = 34°.

Угол ∠HAF = ∠A / 2 = 34° / 2 = 17°. В треугольнике AHF ∠AHF = 90°, ∠HAF = 17°, и ∠AFH = 180° - 90° - 17° = 73°.

Углы треугольника AHF равны 90°, 17° и 73°.

Ответ: ∠AHF = 90°, ∠HAF = 17°, ∠AFH = 73°

Проверка за 10 секунд: Углы должны соответствовать прямоугольному треугольнику.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Используй свойства биссектрис и высот для нахождения углов в треугольнике.

266

На сторонах угла O отмечены точки A и B так, что OA = OB. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла, и пересекающиеся в точке C. Докажем, что луч OC — биссектриса угла O.

Рассмотрим треугольники OAC и OBC. В них OA = OB (по условию), OC — общая сторона, и ∠OAC = ∠OBC = 90° (как углы между перпендикулярами). Следовательно, треугольники OAC и OBC равны по гипотенузе и катету. Тогда ∠AOC = ∠BOC, и OC — биссектриса угла O.

Что и требовалось доказать.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что углы AOC и BOC равны.

Доп. профит: База: Биссектриса делит угол пополам.

267

Если два остроугольных треугольника равны по стороне и высоты, проведенные из концов этой стороны, соответственно равны, то треугольники равны. Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.

Пусть даны два остроугольных треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, и высоты CD = C₁D₁. Тогда треугольники ACD и A₁C₁D₁ равны по гипотенузе и катету (CD = C₁D₁, AC = A₁C₁). Следовательно, ∠A = ∠A₁.

Аналогично, треугольники BCD и B₁C₁D₁ равны по гипотенузе и катету (CD = C₁D₁, BC = B₁C₁). Следовательно, ∠B = ∠B₁.

Тогда треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим углам (AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁).

Что и требовалось доказать.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что все условия равенства треугольников выполнены.

Доп. профит: Редфлаг: Не забывай про признаки равенства треугольников.