Задачи П.112, П.113 и Проверочная работа №1

Решение П.112:

Пусть первое число равно \(x\). Тогда следующие числа будут \(x+4\), \(x+8\), \(x+12\), \(x+16\).

Среднее арифметическое пяти чисел равно 23. Составим уравнение:

\[ \frac{x + (x+4) + (x+8) + (x+12) + (x+16)}{5} = 23 \]

Умножим обе части на 5:

\[ 5x + 40 = 115 \]

Вычтем 40 из обеих частей:

\[ 5x = 75 \]

Разделим обе части на 5:

\[ x = 15 \]

Тогда числа:

15, 15+4=19, 15+8=23, 15+12=27, 15+16=31.

Ответ: 15, 19, 23, 27, 31.

Решение П.113:

Чтобы разделить прямоугольный треугольник на четыре равных треугольника, нужно провести медианы из вершины прямого угла к гипотенузе и средние линии, параллельные катетам.

Чертеж: Начертите прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. Проведите медиану BD к гипотенузе AC. Проведите средние линии EF (параллельно AB) и DE (параллельно BC), где E — середина AB, F — середина BC.

Проверочная работа (итоговая) № 1

1. Вычислите:

1. \( 6,8 + 2,6 = 9,4 \)
2. \( 8,4 - 3,7 = 4,7 \)
3. \( 7,7 - 0,53 = 7,17 \)
4. \( 67,2 : 0,48 = 140 \)
5. \( (3,72 + 4,56) + 6,28 = 8,28 + 6,28 = 14,56 \)
6. \( 4,33 \cdot 7,92 + 4,33 \cdot 2,18 = 4,33 \cdot (7,92 + 2,18) = 4,33 \cdot 10,1 = 43,733 \)

2. Найдите:

1. \( 10 \% \) от 82,6: \( 82,6 \cdot 0,10 = 8,26 \)
2. \( 25 \% \) от 23,14: \( 23,14 \cdot 0,25 = 5,785 \)

3. Найдите число, если:

1. \( 40 \% \) числа равно 59,5: \( x \cdot 0,40 = 59,5 \Rightarrow x = \frac{59,5}{0,40} = 148,75 \)
2. \( 16 \% \) числа равно 47,4: \( x \cdot 0,16 = 47,4 \Rightarrow x = \frac{47,4}{0,16} = 296,25 \)

4. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел:

1. 16 и 12: \( НОД(16, 12) = 4 \), \( НОК(16, 12) = 48 \)
2. 18 и 24: \( НОД(18, 24) = 6 \), \( НОК(18, 24) = 72 \)

5. Найдите значение выражения:

1. \( \frac{7}{15} + \frac{3}{10} = \frac{14+9}{30} = \frac{23}{30} \)
2. \( \frac{5}{12} \cdot \frac{9}{20} = \frac{5 \cdot 9}{12 \cdot 20} = \frac{45}{240} = \frac{3}{16} \)
3. \( \frac{7}{15} - \frac{3}{10} = \frac{14-9}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \)
4. \( \frac{5}{12} : \frac{9}{20} = \frac{5}{12} \cdot \frac{20}{9} = \frac{5 \cdot 20}{12 \cdot 9} = \frac{100}{108} = \frac{25}{27} \)
5. \( (\frac{5}{7} + \frac{14}{18}) + \frac{2}{7} = (\frac{5}{7} + \frac{7}{9}) + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} + \frac{7}{9} + \frac{2}{7} = (\frac{5}{7} + \frac{2}{7}) + \frac{7}{9} = \frac{7}{7} + \frac{7}{9} = 1 + \frac{7}{9} = 1\frac{7}{9} \)
6. \( \frac{16}{40} - (13 + \frac{1}{19}) \) — В задании возможна опечатка. Если считать \( \frac{19}{40} \) вместо \( 13 \), то \( \frac{16}{40} - (1 + \frac{19}{40}) = \frac{16}{40} - \frac{59}{40} = -\frac{43}{40} = -1\frac{3}{40} \). Если считать \( 1 \frac{19}{40} \) вместо \( 13 \), то \( \frac{16}{40} - 1 \frac{19}{40} = \frac{16}{40} - \frac{59}{40} = -\frac{43}{40} = -1\frac{3}{40} \).

6. Представьте обыкновенные дроби в виде десятичных:

1. \( \frac{1}{8} = 0,125 \)
2. \( \frac{1}{20} = 0,05 \)
3. \( \frac{1}{4} = 0,25 \)
4. \( \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \approx 0,1666... \)
5. \( \frac{15}{68} \approx 0,22058... \)
6. \( \frac{17}{625} = 0,0272 \)

7. Во сколько раз \( \frac{1}{4} \) ч меньше \( \frac{1}{8} \) сут?

Переведём часы в сутки: \( \frac{1}{4} \) ч = \( \frac{1}{4 \cdot 24} \) сут = \( \frac{1}{96} \) сут.

Теперь найдём, во сколько раз \( \frac{1}{96} \) сут меньше \( \frac{1}{8} \) сут:

\[ \frac{1}{8} : \frac{1}{96} = \frac{1}{8} \cdot 96 = 12 \]

Ответ: В 12 раз.

8. На сколько \( \frac{1}{5} \) км больше \( \frac{1}{10} \) м?

Переведём километры в метры: \( \frac{1}{5} \) км = \( \frac{1}{5} \cdot 1000 \) м = 200 м.

Найдем разность:

\[ 200 \text{ м} - \frac{1}{10} \text{ м} = 200 - 0,1 = 199,9 \]

Ответ: На 199,9 м.

9. Выполните действия:

1. \( -4 + 1,3 = -2,7 \)
2. \( -5,6 - (-8) = -5,6 + 8 = 2,4 \)
3. \( -6\frac{3}{4} - (-0,75) = -6,75 + 0,75 = -6 \)
4. \( -0,3 \cdot (-0,3) = 0,09 \)
5. \( -5 \cdot 20 = -100 \)
6. \( 2\frac{3}{4} \cdot (-3,7) \cdot 0 = 0 \)
7. \( (-42) : 6 = -7 \)
8. \( -36 : (-0,6) = 60 \)
9. \( (-12\frac{3}{11}) : (-3) = -\frac{135}{11} : (-3) = \frac{135}{11} \cdot \frac{1}{3} = \frac{45}{11} = 4\frac{1}{11} \)

10. Вычислите:

1. \( |27,8| - |-27,8| = 27,8 - 27,8 = 0 \)
2. \( \frac{7}{9} \cdot |-2\frac{1}{4}| = \frac{7}{9} \cdot 2\frac{1}{4} = \frac{7}{9} \cdot \frac{9}{4} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} \)
3. \( 0,36 : |-0,18| = 0,36 : 0,18 = 2 \)

11. а) Является ли диагональ квадрата его осью симметрии?

Ответ: Да, каждая диагональ квадрата является его осью симметрии.

б) Является ли точка пересечения диагоналей квадрата его центром симметрии?

Ответ: Да, точка пересечения диагоналей является центром симметрии квадрата.

12. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 12 см, 4,5 дм и 0,4 м.

Переведём все измерения в сантиметры:

12 см

4,5 дм = 4,5 \(\cdot\) 10 см = 45 см

0,4 м = 0,4 \(\cdot\) 100 см = 40 см

Объём прямоугольного параллелепипеда находится по формуле \( V = a \cdot b \cdot c \).

\[ V = 12 \text{ см} \cdot 45 \text{ см} \cdot 40 \text{ см} = 21600 \text{ см}^3 \]

Переведём в кубические дециметры (литры):

\[ 21600 \text{ см}^3 = 21,6 \text{ дм}^3 = 21,6 \text{ л} \]

Ответ: 21600 см³ или 21,6 дм³.