Задачи по теме «Касательная к окружности» O – центр окружности. Найдите неизвестную сторону или угол, обозначенные знаком вопроса.

Решение задач:

1. № 1:

   Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то угол между OB и касательной равен 90°. Треугольник OAB является прямоугольным. По теореме Пифагора: \( OA^2 = OB^2 + AB^2 \). Однако, неизвестны ни OB (радиус), ни AB. Без дополнительных данных задачу решить невозможно.

2. № 2:

   В треугольнике OAB: OB - радиус, AB - касательная. Угол OBA = 90°. AC = 7. Треугольник ABC - внешний, где BC - отрезки касательных из одной точки, значит BC = AB. OA = OB + BA. В прямоугольном треугольнике OAB: \( OA^2 = OB^2 + AB^2 \). \( (OB+7)^2 = OB^2 + 7^2 \) => \( OB^2 + 14 \times OB + 49 = OB^2 + 49 \) => \( 14 \times OB = 0 \) => \( OB = 0 \), что невозможно. Похоже, на рисунке BC=7, а не AC=7. Если BC=7, то AB=7. Тогда \( OA^2 = OB^2 + 7^2 \). \( (OB+BC)^2 = OB^2 + 7^2 \) => \( (OB+7)^2 = OB^2 + 49 \) => \( OB^2 + 14 \times OB + 49 = OB^2 + 49 \) => \( 14 \times OB = 0 \) => \( OB = 0 \). Опять противоречие. Возможна другая интерпретация. Если AC = 7, то BC = ? Тогда AB = BC. \( OA = OB + AC \) => \( OA = OB + 7 \). \( OA^2 = OB^2 + BC^2 \) => \( (OB+7)^2 = OB^2 + BC^2 \) => \( OB^2 + 14 \times OB + 49 = OB^2 + BC^2 \) => \( 14 \times OB + 49 = BC^2 \). Если AC=7, то AB=7, BC=7, OA=OB+7. \( OA^2 = OB^2 + 7^2 \) => \( (OB+7)^2 = OB^2 + 49 \) => \( OB^2 + 14 \times OB + 49 = OB^2 + 49 \) => \( OB = 0 \). Ошибка в условии или рисунке. Если считать, что AC=7, а BC - неизвестно, то AB = BC. \( OA = OB + 7 \). \( OA^2 = OB^2 + BC^2 \) => \( (OB+7)^2 = OB^2 + BC^2 \) => \( 14 \times OB + 49 = BC^2 \). Этого недостаточно. Если BC = 7, то AB = 7. OA = OB + 7. \( OA^2 = OB^2 + 7^2 \) => \( (OB+7)^2 = OB^2 + 49 \) => \( OB = 0 \). Не решается.

3. № 3:

   В прямоугольном треугольнике OBA, угол OBA = 90°, угол OAB = 34°. Угол AOB = 180° - 90° - 34° = 56°. Так как OB = OC (радиусы), треугольник OAC равнобедренный. Угол OAC = 34°. Угол OCA = 34°. Угол AOC = 180° - 34° - 34° = 112°. Угол BOC = 180° - AOB = 180° - 56° = 124°. Противоречие. По рисунку, угол OAB = 34°. OA - гипотенуза. \( OB = OA \times \tan(34^\text{o}) \). \( AB = OA \times \frac{1}{\tan(34^\text{o})} \). Нельзя найти угол AOB. Если угол OAB = 34°, а угол AOB = ?. Треугольник OAB прямоугольный. \( \tan(\text{Угол OAB}) = \frac{OB}{AB} \), \( \tan(\text{Угол AOB}) = \frac{AB}{OB} \). Не хватает данных.

4. № 4:

   В прямоугольном треугольнике OBA, угол OBA = 90°, угол AOB = 21°. OA - гипотенуза. \( AB = OA \times \tan(21^\text{o}) \). \( OB = OA \times \frac{1}{\tan(21^\text{o})} \). \( OB \) - это радиус. \( AB \) - это касательная. \( OB = OA \times \frac{1}{\tan(21^\text{o})} \) - это не верно, угол AOB=21. \( AB = OB \times \tan(21^\text{o}) \). \( OA = \frac{OB}{\tan(21^\text{o})} \). Невозможно решить без значения OB или OA.

5. № 5:

   AO = 16. Треугольник OBA прямоугольный, угол OBA = 90°. Угол OAB = 30°. \( OB = OA \times \tan(30^\text{o}) = 16 \times \frac{\sqrt{3}}{3} \). \( AB = OA \times \frac{1}{\tan(30^\text{o})} = 16 \times \text{sqrt}(3) \). \( OB \) - радиус. \( \text{Угол AOB} = 180^\text{o} - 90^\text{o} - 30^\text{o} = 60^\text{o} \). Угол ? = 60°.

6. № 6:

   Треугольник OBA прямоугольный, угол OBA = 90°, угол OAB = 45°. Следовательно, треугольник OBA равнобедренный, OB = AB. Угол AOB = 180° - 90° - 45° = 45°. Тогда Угол ? = 45°.

7. № 7:

   AO = 24. Угол OAB = 60°. Треугольник OBA прямоугольный, угол OBA = 90°. \( OB = OA \times \tan(60^\text{o}) = 24 \times \text{sqrt}(3) \). \( AB = OA \times \frac{1}{\tan(60^\text{o})} = 24 \times \frac{1}{\text{sqrt}(3)} = 8\text{sqrt}(3) \). Угол AOB = 180° - 90° - 60° = 30°. Неизвестный угол ? = 30°.

8. № 8:

   BC = 5. Треугольник OBA прямоугольный, угол OBA = 90°. AB = BC = 5. \( OA^2 = OB^2 + AB^2 \). \( OA^2 = OB^2 + 5^2 \). \( OA = OB + BC = OB + 5 \). \( (OB+5)^2 = OB^2 + 25 \) => \( OB^2 + 10 \times OB + 25 = OB^2 + 25 \) => \( 10 \times OB = 0 \) => \( OB = 0 \). Противоречие. Вероятно, 5 - это длина AB. Тогда OA = OB + 5. \( OA^2 = OB^2 + 5^2 \) => \( (OB+5)^2 = OB^2 + 25 \) => \( OB = 0 \). Опять противоречие. Если 5 - это OA, то \( OA = 5 \). \( 5^2 = OB^2 + AB^2 \). \( AB = BC = OB \). \( 25 = OB^2 + OB^2 = 2 \times OB^2 \). \( OB^2 = 12.5 \). \( OB = \text{sqrt}(12.5) \). AB = \( \text{sqrt}(12.5) \). Невозможно определить ?. Если 5 - это OB, то \( OB = 5 \). \( OA^2 = 5^2 + AB^2 \). AB = BC. OA = OB + BC = 5 + AB. \( (5+AB)^2 = 25 + AB^2 \) => \( 25 + 10 \times AB + AB^2 = 25 + AB^2 \) => \( 10 \times AB = 0 \) => \( AB = 0 \). Ошибка в условии.

9. № 9:

   Угол OAB = 38°. Треугольник OBA прямоугольный, угол OBA = 90°. Угол AOB = 180° - 90° - 38° = 52°. BC - касательная. AB = BC. Угол OAB = 38°. Угол OAC = 38°. Треугольник OAC равнобедренный. Угол OCA = 38°. Угол AOC = 180° - 38° - 38° = 104°. Угол BOC = 180° - AOB = 180° - 52° = 128°. Угол ? = 52°.

10. № 10:

    B - точка касания. OB перпендикулярен касательной AB. Угол OBA = 90°. Треугольник OBA прямоугольный. Неизвестны ни OA, ни OB, ни AB. Нет данных для решения.

11. № 11:

    ∠BOC = 120°. AO = 14. OB = OC (радиусы). Треугольник BOC равнобедренный. Углы OBC = OCB = (180° - 120°)/2 = 30°. AB и AC - касательные. OB = OC, AB = AC, OA - биссектриса и медиана. Треугольник OBA прямоугольный (OB перпендикулярен AB). Угол AOB = ∠AOC = ∠BOC / 2 = 120° / 2 = 60°. В прямоугольном треугольнике OBA: \( OB = OA \times \tan(60^\text{o}) = 14 \times \text{sqrt}(3) \). \( AB = OA \times \frac{1}{\tan(60^\text{o})} = 14 \times \frac{1}{\text{sqrt}(3)} = \frac{14\text{sqrt}(3)}{3} \). Угол OAB = 180° - 90° - 60° = 30°. Угол ? = 30°.

12. № 12:

    AB и AC - касательные. OB = OC (радиусы). Треугольник OBA и OAC прямоугольные. Угол OBA = OAC = 90°. Угол BAC = ?. Угол AOB = Угол AOC. Неизвестны углы. Нет данных для решения.