Задачи по теме «Окружность» 1. В окружности с центром O проведены радиусы OK, OM, ON, таким образом, что углы KOM и MON равны. Докажите, что треугольники KOM и MON равны. 2. В окружности с центром O диаметру AC перпендикулярен радиус OB. Докажите, что AB=BC. 3. В окружности с центром O проведены две непараллельные хорды KM и PN, причем KM=PN. Точка A – середина KM, точка B – середина PN. Докажите, что треугольник AOB равнобедренный.

Решение задачи 1:

Дано: Окружность с центром O, радиусы OK, OM, ON, ∠KOM = ∠MON.

Доказать: ΔKOM = ΔMON.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ΔKOM и ΔMON.


2. OK = OM = ON (как радиусы одной окружности).


3. ∠KOM = ∠MON (по условию).


4. OM - общая сторона.


5. Следовательно, ΔKOM = ΔMON (по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними).

Что и требовалось доказать.

Решение задачи 2:

Дано: Окружность с центром O, диаметр AC, OB ⊥ AC.

Доказать: AB = BC.

Доказательство:

1. Так как OB ⊥ AC, то ∠AOB = ∠COB = 90°.


2. Рассмотрим треугольники ΔAOB и ΔCOB.


3. AO = OC (как радиусы одной окружности).


4. OB - общая сторона.


5. ∠AOB = ∠COB = 90°.


6. Следовательно, ΔAOB = ΔCOB (по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними).


7. Из равенства треугольников следует, что AB = BC (как соответствующие стороны равных треугольников).

Что и требовалось доказать.

Решение задачи 3:

Дано: Окружность с центром O, хорды KM и PN, KM = PN, A – середина KM, B – середина PN.

Доказать: ΔAOB – равнобедренный.

Доказательство:

1. Проведём перпендикуляры из центра O к хордам KM и PN. Пусть это будут отрезки OX и OY соответственно.


2. Так как OX и OY – перпендикуляры к хордам, то они делят хорды пополам (свойство перпендикуляра, проведённого из центра окружности к хорде). Значит, AX = KM/2 и BY = PN/2.


3. По условию KM = PN, следовательно, AX = BY.


4. Известно, что равные хорды находятся на равном расстоянии от центра окружности. Значит, OX = OY.


5. Рассмотрим треугольники ΔAOX и ΔBOY.


6. AX = BY (доказано выше).


7. OX = OY (доказано выше).


8. ∠AXO = ∠BYO = 90° (так как OX ⊥ KM и OY ⊥ PN).


9. Следовательно, ΔAOX = ΔBOY (по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними).


10. Из равенства треугольников следует, что AO = BO (как соответствующие стороны равных треугольников).


11. Так как AO = BO, то треугольник ΔAOB – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника).

Что и требовалось доказать.