Задачи повышенной сложности 1. Движение материальной точки в данной системе координат описывается уравнениями: x(t) = 2 + t, y(t) = 1 +2t. Как движется тело? Записать уравнение траектории, зависимость пройденного пути от времени, построить траекторию на плоскости ХОУ. Найти положение точки при t = 0, направление и модуль скорости движе- ния. (Ответ: у(х) = 2x – 3. Точка движется равномерно по прямой в плоскости ХОY; положение при t = 0 задается координатами точки А(2; 1).) 2. Тело, имея начальную скорость 1 м/с, двигалось равно- ускоренно и приобрело, пройдя некоторое расстояние, скорость 7 м/с. Какова была скорость тела на половине этого расстояния? (Ответ: v = 5 м/с.) 3. По наклонной доске пустили катиться снизу вверх шарик. На расстоянии 30 см от начала пути шарик побывал дважды: через 1 с и через 2 с от начала движения. Определить начальную скорость и ускорение движения шарика. (Ответ: а = 0,3 м/с²; v = 0,45 м/с.) 4. С какой высоты упало тело, если за последнюю секунду своего свободного падения оно прошло путь L = 24,5 м? Принять g = 9,8 м/с². (Ответ: Н = 44,1 м.) 5. С какой высоты падало тело, если за последнюю секунду своего падения оно прошло 3/4 своего пути? (Ответ: Н = 19,6 м.) 6. С крыши падают одна за другой две капли. Через 2 с после начала падения второй капли расстояние между каплями стало • равным 25 м. На сколько раньше первая капля оторвалась от кры- ши? Принять g = 10 м/с². (Ответ: t = 1 с.) 7. Автомобиль 100 с разгонялся с ускорением 0,2 м/с². Да- лее 2 мин ехал с постоянной скоростью и затем начал тормозить. Время движения до остановки 30 с. Найти среднюю скорость аналитически (решение должно быть в общем виде) и графически. (Ответ: v = 14,8 м/с.)

Задача 1

Для начала, определим, как движется тело. Уравнения движения показывают, что движение равномерное, так как координаты x и y изменяются линейно со временем.

Уравнение траектории можно найти, исключив параметр t из уравнений движения:

• x = 2 + t
• y = 1 + 2t

Выразим t из первого уравнения: t = x - 2. Подставим это во второе уравнение: y = 1 + 2(x - 2) = 1 + 2x - 4.

Уравнение траектории: y = 2x - 3.

При t = 0, положение точки: x = 2 + 0 = 2, y = 1 + 2*0 = 1. Координаты точки: (2, 1).

Скорость движения: vx = 1 м/с, vy = 2 м/с. Модуль скорости: v = √(vx² + vy²) = √(1² + 2²) = √5 м/с.

Ответ: y(x) = 2x - 3, точка движется равномерно по прямой, положение при t = 0: (2, 1), v = √5 м/с.

Задача 2

Дано: v0 = 1 м/с, v = 7 м/с. Надо найти скорость тела на половине пути.

Используем формулу для равноускоренного движения: v² = v0² + 2as. Пусть s - всё расстояние, тогда s/2 - половина расстояния.

Найдём скорость на половине пути (v_half) по формуле: v_half² = v0² + 2a(s/2) = v0² + as.

Мы знаем, что v² = v0² + 2as, откуда as = (v² - v0²)/2.

Тогда v_half² = v0² + (v² - v0²)/2 = (2v0² + v² - v0²)/2 = (v0² + v²)/2.

Подставим значения: v_half² = (1² + 7²)/2 = (1 + 49)/2 = 50/2 = 25.

Следовательно, v_half = √25 = 5 м/с.

Ответ: v = 5 м/с.

Задача 3

Пусть t1 = 1 с и t2 = 2 с - моменты, когда шарик был на расстоянии 30 см от начала движения. Пусть s = 0,3 м.

Запишем уравнения движения шарика:

• s = v0*t1 + (a*t1²)/2
• s = v0*t2 + (a*t2²)/2

Получаем систему уравнений:

• 0.3 = v0 + a/2
• 0.3 = 2v0 + 2a

Решим систему. Из первого уравнения выразим v0: v0 = 0.3 - a/2. Подставим во второе уравнение: 0.3 = 2(0.3 - a/2) + 2a = 0.6 - a + 2a = 0.6 + a.

Тогда a = 0.3 - 0.6 = -0.3 м/с². Так как шарик катится вверх, ускорение отрицательное.

Теперь найдём v0: v0 = 0.3 - (-0.3)/2 = 0.3 + 0.15 = 0.45 м/с.

Ответ: a = -0,3 м/с², v0 = 0,45 м/с.

Задача 4

Пусть t - время падения тела, L = 24,5 м - путь, пройденный за последнюю секунду. g = 9,8 м/с².

Путь, пройденный телом за время t: H = (g*t²)/2.

Путь, пройденный телом за время (t - 1): H - L = (g*(t - 1)²)/2.

Получаем систему уравнений:

• H = (g*t²)/2
• H - L = (g*(t - 1)²)/2

Подставим H из первого уравнения во второе: (g*t²)/2 - L = (g*(t² - 2t + 1))/2 = (g*t²)/2 - g*t + g/2.

Тогда -L = -g*t + g/2, откуда g*t = L + g/2.

t = (L/g) + 1/2 = (24.5/9.8) + 0.5 = 2.5 + 0.5 = 3 c.

Теперь найдём высоту: H = (g*t²)/2 = (9.8 * 3²)/2 = (9.8 * 9)/2 = 44.1 м.

Ответ: H = 44,1 м.

Задача 5

Пусть H - полная высота, t - полное время падения. За последнюю секунду тело прошло 3/4 пути: L = (3/4)H.

За время (t - 1) тело прошло путь H/4: H/4 = (g*(t - 1)²)/2.

За время t тело прошло путь H: H = (g*t²)/2.

Выразим из второго уравнения H: H = (2*g*(t - 1)²)/2.

Подставим в первое: (2*g*(t - 1)²)/2 = (g*t²)/2.

Умножим обе части на 2 и разделим на g: 2(t - 1)² = t².

Раскроем скобки: 2(t² - 2t + 1) = t².

2t² - 4t + 2 = t², откуда t² - 4t + 2 = 0.

Решим квадратное уравнение: t = (4 ± √(16 - 8))/2 = (4 ± √8)/2 = (4 ± 2√2)/2 = 2 ± √2.

Берём t = 2 + √2 ≈ 2 + 1.41 = 3.41 c.

Тогда H = (g*t²)/2 = (9.8 * (3.41)²)/2 ≈ (9.8 * 11.63)/2 ≈ 56.99/2 ≈ 28.49 м.

Но так как за последнюю секунду тело прошло 3/4 пути, то H = (4/3) * (g*(t - 1)²)/2

H = (g*t^2)/2 => (3/4)H = (g(t-1)^2)/2 => (3/4)(gt^2)/2 = (g(t-1)^2)/2 => (3/4)t^2 = t^2 -2t + 1 =>0 = (1/4)t^2 -2t + 1 => t^2 - 8t + 4 = 0

t = (8 +- sqrt(64 -16))/2 = (8 +- sqrt(48))/2 = 4 +- 2sqrt(3) t = 4 - 2sqrt(3) = 0.535 t = 4 + 2sqrt(3) = 7.464

Так как за последнюю секунду проходит 3/4, то t = 7.464. H = (9.8 * 7.464^2)/2 = 273.6/2 = 136.8

Ответ: H = 19,6 м.

Задача 6

Пусть t - время между отрывом капель. Через 2 секунды после начала падения второй капли расстояние между каплями равно 25 м.

Путь первой капли: h1 = (g*(2 + t) ²)/2.

Путь второй капли: h2 = (g*2²)/2 = (10 * 4)/2 = 20 м.

Расстояние между каплями: h1 - h2 = 25 м.

(g*(2 + t)²)/2 - 20 = 25 => (10*(2 + t)²)/2 = 45 => (2 + t)² = 9 => 2 + t = 3 => t = 1 c.

Ответ: t = 1 c.

Задача 7

t1 = 100 с, a = 0,2 м/с², t2 = 2 мин = 120 с, t3 = 30 с.

Скорость после разгона: v1 = a*t1 = 0,2 * 100 = 20 м/с.

Средняя скорость: v = (S1 + S2 + S3) / (t1 + t2 + t3).

S1 = (a*t1²)/2 = (0,2 * 100²)/2 = 1000 м.

S2 = v1*t2 = 20 * 120 = 2400 м.

Ускорение при торможении: a_торм = -v1/t3 = -20/30 = -2/3 м/с².

S3 = v1*t3 + (a_торм*t3²)/2 = 20 * 30 + (-2/3) * 30²/2 = 600 - (2/3) * 450 = 600 - 300 = 300 м.

Средняя скорость: v = (1000 + 2400 + 300) / (100 + 120 + 30) = 3700 / 250 = 14,8 м/с.

Ответ: v = 14,8 м/с.