Задачи 631 Пусть д расстояние от центра окружности радиуса г до пря- мой р. Каково взаимное расположение прямой р и окружности, если: а) г=16см, а = 12 см; 6 r=5см, д=4,2 см; в) r= 7,2 дм, d = 3,7 дм; г) г = 8 см, а = 1,2 дм; д) r=5см, d = 50 мм? 632 Расстояние от точки А до центра окружности меньше ради- уса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности. 633 Даны квадрат ОАВС, сторона которого равна 6 см, и окруж ность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС И АС являются секущими по отношению к этой окружности? 634 Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ попо- лам. Докажите, что касательная, проведённая через точку М, параллельна хорде АВ. 635 Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними. 636 Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, про- ведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АСВ. 637 Угол между диаметром АВ и хордой АС равен 30°. Через Точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке Д. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса в 638

Задача 631

• а) r = 16 см, d = 12 см. Так как расстояние от центра до прямой меньше радиуса (d < r), то прямая и окружность пересекаются.
• б) r = 5 см, d = 4,2 см. Так как расстояние от центра до прямой меньше радиуса (d < r), то прямая и окружность пересекаются.
• в) r = 7,2 дм, d = 3,7 дм. Так как расстояние от центра до прямой меньше радиуса (d < r), то прямая и окружность пересекаются.
• г) r = 8 см, d = 1,2 дм = 12 см. Так как расстояние от центра до прямой больше радиуса (d > r), то прямая и окружность не пересекаются.
• д) r = 5 см, d = 50 мм = 5 см. Так как расстояние от центра до прямой равно радиусу (d = r), то прямая касается окружности.

Задача 632

Пусть O - центр окружности, A - точка, расстояние от которой до центра меньше радиуса. Тогда любая прямая, проходящая через точку A, является секущей, так как она пересекает окружность в двух точках.

Задача 633

Дано: Квадрат OABC, сторона равна 6 см, окружность с центром в точке O радиуса 5 см.

Определим, какие из прямых OA, AB, BC и AC являются секущими по отношению к окружности:

• OA: Прямая OA не является секущей, так как она содержит радиус окружности.
• AB: Прямая AB является секущей, так как расстояние от точки O до прямой AB меньше радиуса окружности.
• BC: Прямая BC является секущей, так как расстояние от точки O до прямой BC больше радиуса окружности.
• AC: Прямая AC является секущей, так как она пересекает окружность в двух точках.

Задача 634

Радиус OM окружности с центром O делит хорду AB пополам. Докажем, что касательная, проведённая через точку M, параллельна хорде AB.

Доказательство:

• Так как OM - радиус, проведённый к середине хорды AB, то OM перпендикулярен AB.
• Касательная, проведённая через точку M, также перпендикулярна OM.
• Следовательно, касательная параллельна хорде AB.

Задача 635

Через точку A окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.

Решение:

• Пусть AB - хорда, равная радиусу, и AT - касательная к окружности в точке A.
• Треугольник OAB - равносторонний, так как OA = OB = AB.
• Угол OAB = 60°.
• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними.
• Угол между касательной AT и хордой AB равен 60°.

Угол между касательной и хордой равен 60°.

Задача 636

Через концы хорды AB, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке C. Найдите угол ACB.

Решение:

• Пусть O - центр окружности.
• Треугольник OAB - равносторонний, так как OA = OB = AB.
• Угол AOB = 60°.
• Угол между касательными равен 180° - угол AOB = 180° - 60° = 120°.

Угол ACB равен 120°.

Задача 637

Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30°. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

Доказательство:

• Угол CAB = 30°.
• Угол ACB = 90° (угол, опирающийся на диаметр).
• Угол ABC = 60°.
• Угол OCD = 90°.
• Угол ADC = 30°.
• Треугольник ACD - равнобедренный, так как углы CAD и ADC равны.

Задача 638

Прямая AB касается окружности с центром O радиуса r в точке B.