Задачи Пункт 14 1. Найдите углы, смежные с углами 30°, 45°, 60°, 90°. 2. Могут ли два смежных угла быть оба: 1) острыми; 2) тупыми; 3) прямыми? Обоснуйте ответ. 3. Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого. 4. Найдите смежные углы, если: 1) один из них на 30° больше другого; 2) их разность равна 40°; 3) один из них в три раза меньше другого; 4) они равны. 5. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают: 1) 6 ч; 2) 3 ч; 3) 4 ч? 6. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как: (1) 2:3; 2) 3:7; 3) 11:25; 4) 22:23. Пункт 15 Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30°. Чему равны остальные углы?

• Угол, смежный с углом 30°, равен 180° - 30° = 150°.
• Угол, смежный с углом 45°, равен 180° - 45° = 135°.
• Угол, смежный с углом 60°, равен 180° - 60° = 120°.
• Угол, смежный с углом 90°, равен 180° - 90° = 90°.

• 1) Нет, два смежных угла не могут быть оба острыми, так как их сумма должна быть 180°. Если бы они оба были острыми (меньше 90°), то их сумма была бы меньше 180°.
• 2) Нет, два смежных угла не могут быть оба тупыми, так как их сумма должна быть 180°. Если бы они оба были тупыми (больше 90°), то их сумма была бы больше 180°.
• 3) Да, два смежных угла могут быть прямыми, если каждый из них равен 90°. Тогда их сумма равна 180°.

Пусть один угол равен $$x$$, тогда другой равен $$2x$$. Так как они смежные, то их сумма равна 180°: $$x + 2x = 180$$; $$3x = 180$$; $$x = 60$$. Тогда углы равны 60° и 120°.

• 1) один из них на 30° больше другого.

  Пусть один угол равен $$x$$, тогда другой равен $$x + 30^{circ}$$. Так как они смежные, то $$x + x + 30^{circ} = 180^{circ}$$; $$2x = 150^{circ}$$; $$x = 75^{circ}$$. Тогда углы равны 75° и 105°.

• 2) их разность равна 40°.

  Пусть один угол равен $$x$$, тогда другой равен $$x + 40^{circ}$$. Так как они смежные, то $$x + x + 40^{circ} = 180^{circ}$$; $$2x = 140^{circ}$$; $$x = 70^{circ}$$. Тогда углы равны 70° и 110°.

• 3) один из них в три раза меньше другого.

  Пусть один угол равен $$x$$, тогда другой равен $$3x$$. Так как они смежные, то $$x + 3x = 180^{circ}$$; $$4x = 180^{circ}$$; $$x = 45^{circ}$$. Тогда углы равны 45° и 135°.

• 4) они равны.

  Если смежные углы равны, то каждый из них равен 90°.

• 1) 6 ч;

  В 6 часов стрелки образуют развернутый угол, то есть 180°.

• 2) 3 ч;

  В 3 часа стрелки образуют прямой угол, то есть 90°.

• 3) 4 ч?

  В 4 часа угол между стрелками можно рассчитать. Угол между каждой часовой отметкой равен 30° (360° / 12 = 30°). Между 12 и 4 часами четыре отметки, поэтому угол равен 4 × 30° = 120°. Однако, минутная стрелка находится на отметке 12, а часовая стрелка смещается от отметки 4. За 60 минут часовая стрелка проходит 30°, значит, за 20 минут (треть часа) она пройдет 10°. Таким образом, угол между стрелками в 4 часа равен 120° - 10° = 110°.

• 1) 2:3;

  Пусть углы равны $$2x$$ и $$3x$$. Тогда $$2x + 3x = 180^{circ}$$; $$5x = 180^{circ}$$; $$x = 36^{circ}$$. Углы равны 2 × 36° = 72° и 3 × 36° = 108°.

• 2) 3:7;

  Пусть углы равны $$3x$$ и $$7x$$. Тогда $$3x + 7x = 180^{circ}$$; $$10x = 180^{circ}$$; $$x = 18^{circ}$$. Углы равны 3 × 18° = 54° и 7 × 18° = 126°.

• 3) 11:25;

  Пусть углы равны $$11x$$ и $$25x$$. Тогда $$11x + 25x = 180^{circ}$$; $$36x = 180^{circ}$$; $$x = 5^{circ}$$. Углы равны 11 × 5° = 55° и 25 × 5° = 125°.

• 4) 22:23.

  Пусть углы равны $$22x$$ и $$23x$$. Тогда $$22x + 23x = 180^{circ}$$; $$45x = 180^{circ}$$; $$x = 4^{circ}$$. Углы равны 22 × 4° = 88° и 23 × 4° = 92°.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Если один из углов равен 30°, то вертикальный с ним угол также равен 30°. Два других угла являются смежными с углом 30°, и каждый из них равен 180° - 30° = 150°.