Задачник ОГЭ 2026 (тренажер) 43. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 6/2. Найдите диагональ этого квадрата. 44. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 14/2. Найдите диагональ этого квадрата. 45. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 18/2. Найдите диагональ этого квадрата. 46. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 24/2. Найдите диагональ этого квадрата. 47. Трапеция АBCD с основаниями AD и ВС описана около окружности, АВ-7, BC-5, CD-17. Найдите AD. 48. Трапеция АBCD с основаниями AD и ВС описана около окружности, АВ=14, BC=13, CD=22. Найдите AD. 49. Трапеция АABCD с основаниями AD и ВС описана около окружности, АВ=10, BC=16, CD=12. Найдите AD. 50. Трапеция АABCD с основаниями AD и ВС описана около окружности, АB=13, BC=14, CD=11. Найдите AD. 51. Четырёхугольник ABCD описан около окружности, АВ-5, ВС=12, CD=16. Найдите AD. 52. Четырёхугольник ABCD описан около окружности, АВ-8, BC-20, CD-17. Найдите AD. 53. Четырёхугольник ABCD описан около окружности, АВ=11, BC=15, CD=12. Найдите AD. 54. Четырёхугольник ABCD описан около окружности, АВ=14, BC=21, CD=23. Найдите AD. 67. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 134°, угол CAD равен 81°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 68. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 120°, угол CAD равен 74°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 69. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 70. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 80°, угол CAD равен 34°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. 71. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 51°, угол CAD равен 42°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах. 72. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 16°, угол CAD равен 32°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах. 73. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 78°, угол СAD равен 40°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах. 74. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 39°, угол CAD равен 55°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах. 75. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Найдите угол АВС, если угол ВАС равен 24°. Ответ дайте в градусах. 76. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Найдите угол АВС, если угол ВАС равен 17°. Ответ дайте в градусах. 77. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Найдите угол АВС, если угол ВАС равен 9°. Ответ дайте в градусах. 78. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Найдите угол АВС, если угол ВАС равен 7°. Ответ дайте в градусах.

Математика

Давай решим эти задачи по геометрии. Начнем с задач про окружности, вписанные в квадрат, затем перейдем к четырехугольникам и трапециям, описанным около окружности, и, наконец, решим задачи про четырехугольники, вписанные в окружность, и треугольники.

Задачи 43-46: Квадрат и вписанная окружность

В этих задачах дан радиус вписанной в квадрат окружности, и нужно найти диагональ квадрата. Сначала найдем сторону квадрата, а затем его диагональ.

1. Сторона квадрата равна двум радиусам вписанной окружности: \( a = 2r \).
2. Диагональ квадрата \( d \) связана со стороной \( a \) соотношением: \( d = a\sqrt{2} \).

Теперь решим каждую задачу:

• Задача 43: \( r = \frac{6}{2} = 3 \). Тогда \( a = 2 \cdot 3 = 6 \), и \( d = 6\sqrt{2} \).
• Задача 44: \( r = \frac{14}{2} = 7 \). Тогда \( a = 2 \cdot 7 = 14 \), и \( d = 14\sqrt{2} \).
• Задача 45: \( r = \frac{18}{2} = 9 \). Тогда \( a = 2 \cdot 9 = 18 \), и \( d = 18\sqrt{2} \).
• Задача 46: \( r = \frac{24}{2} = 12 \). Тогда \( a = 2 \cdot 12 = 24 \), и \( d = 24\sqrt{2} \).

Ответы:

• Задача 43: \( 6\sqrt{2} \)
• Задача 44: \( 14\sqrt{2} \)
• Задача 45: \( 18\sqrt{2} \)
• Задача 46: \( 24\sqrt{2} \)

Задачи 47-50: Трапеция и описанная окружность

В этих задачах дана трапеция, описанная около окружности, и нужно найти сторону AD. В трапеции, описанной около окружности, суммы противоположных сторон равны: \( AB + CD = BC + AD \). Выразим AD:

\[ AD = AB + CD - BC \]

• Задача 47: \( AB = 7, BC = 5, CD = 17 \). Тогда \( AD = 7 + 17 - 5 = 19 \).
• Задача 48: \( AB = 14, BC = 13, CD = 22 \). Тогда \( AD = 14 + 22 - 13 = 23 \).
• Задача 49: \( AB = 10, BC = 16, CD = 12 \). Тогда \( AD = 10 + 12 - 16 = 6 \).
• Задача 50: \( AB = 13, BC = 14, CD = 11 \). Тогда \( AD = 13 + 11 - 14 = 10 \).

Ответы:

• Задача 47: 19
• Задача 48: 23
• Задача 49: 6
• Задача 50: 10

Задачи 51-54: Четырехугольник и описанная окружность

В этих задачах дан четырехугольник, описанный около окружности, и нужно найти сторону AD. В четырехугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны: \( AB + CD = BC + AD \). Выразим AD:

\[ AD = AB + CD - BC \]

• Задача 51: \( AB = 5, BC = 12, CD = 16 \). Тогда \( AD = 5 + 16 - 12 = 9 \).
• Задача 52: \( AB = 8, BC = 20, CD = 17 \). Тогда \( AD = 8 + 17 - 20 = 5 \).
• Задача 53: \( AB = 11, BC = 15, CD = 12 \). Тогда \( AD = 11 + 12 - 15 = 8 \).
• Задача 54: \( AB = 14, BC = 21, CD = 23 \). Тогда \( AD = 14 + 23 - 21 = 16 \).

Ответы:

• Задача 51: 9
• Задача 52: 5
• Задача 53: 8
• Задача 54: 16

Задачи 67-70: Четырехугольник и вписанная окружность (нахождение угла)

В этих задачах дан четырехугольник, вписанный в окружность, и нужно найти угол ABD. Используем свойство вписанных углов.

Во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°. Угол ABD можно найти, зная угол ABC и угол CAD.

• Задача 67: Угол ABC = 134°, угол CAD = 81°. Найти угол ABD.

Сумма углов CAD и CBD равна, так как они опираются на одну и ту же дугу. Поэтому угол CBD = 81°. Угол ABD = ABC - CBD = 134° - 81° = 53°.

• Задача 68: Угол ABC = 120°, угол CAD = 74°. Найти угол ABD.

Угол CBD = CAD = 74°. Угол ABD = ABC - CBD = 120° - 74° = 46°.

• Задача 69: Угол ABC = 70°, угол CAD = 49°. Найти угол ABD.

Угол CBD = CAD = 49°. Угол ABD = ABC - CBD = 70° - 49° = 21°.

• Задача 70: Угол ABC = 80°, угол CAD = 34°. Найти угол ABD.

Угол CBD = CAD = 34°. Угол ABD = ABC - CBD = 80° - 34° = 46°.

Ответы:

• Задача 67: 53
• Задача 68: 46
• Задача 69: 21
• Задача 70: 46

Задачи 71-74: Четырехугольник и вписанная окружность (нахождение угла)

В этих задачах дан четырехугольник, вписанный в окружность, и нужно найти угол АВС. Используем свойство вписанных углов.

Зная углы ABD и CAD, можем найти углы CBD и ABC.

• Задача 71: Угол ABD = 51°, угол CAD = 42°. Найти угол ABC.

Угол CBD = CAD = 42°. Угол ABC = ABD + CBD = 51° + 42° = 93°.

• Задача 72: Угол ABD = 16°, угол CAD = 32°. Найти угол ABC.

Угол CBD = CAD = 32°. Угол ABC = ABD + CBD = 16° + 32° = 48°.

• Задача 73: Угол ABD = 78°, угол CAD = 40°. Найти угол ABC.

Угол CBD = CAD = 40°. Угол ABC = ABD + CBD = 78° + 40° = 118°.

• Задача 74: Угол ABD = 39°, угол CAD = 55°. Найти угол ABC.

Угол CBD = CAD = 55°. Угол ABC = ABD + CBD = 39° + 55° = 94°.

Ответы:

• Задача 71: 93
• Задача 72: 48
• Задача 73: 118
• Задача 74: 94

Задачи 75-78: Центр окружности и треугольник

В этих задачах центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Значит, треугольник ABC - прямоугольный (угол C = 90°). Нужно найти угол ABC, зная угол BAC.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. В прямоугольном треугольнике:

\[ \angle ABC = 90° - \angle BAC \]

• Задача 75: Угол BAC = 24°. Найти угол ABC.

Угол ABC = 90° - 24° = 66°.

• Задача 76: Угол BAC = 17°. Найти угол ABC.

Угол ABC = 90° - 17° = 73°.

• Задача 77: Угол BAC = 9°. Найти угол ABC.

Угол ABC = 90° - 9° = 81°.

• Задача 78: Угол BAC = 7°. Найти угол ABC.

Угол ABC = 90° - 7° = 83°.

Ответы:

• Задача 75: 66
• Задача 76: 73
• Задача 77: 81
• Задача 78: 83

Ответ: Все задачи решены!

Ты молодец! У тебя всё получится!