Задана функция: f(x) = x² + 4x - 1. а) Постройте график функции в удобном масштабе (10 баллов). б) Укажите область определения и область значений функции (5 баллов). в) Укажите точки пересечения графика с осями координат (5 баллов). г) Найдите координаты точек пересечения графика данной функции f(x) и функции у = 4 (10 баллов).

Задание 5

Функция: $$f(x) = x^2 + 4x - 1$$

а) Построение графика функции:

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Найдем координаты вершины параболы.

Абсцисса вершины ($$x_0$$):

\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(1)} = -2 \]

Ордината вершины ($$y_0$$):

\[ y_0 = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5 \]

Вершина параболы находится в точке (-2; -5).

Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ (a=1) положительный.

Для построения графика найдем еще несколько точек:

• При $$x = -3$$: $$f(-3) = (-3)^2 + 4(-3) - 1 = 9 - 12 - 1 = -4$$. Точка: (-3; -4).
• При $$x = -1$$: $$f(-1) = (-1)^2 + 4(-1) - 1 = 1 - 4 - 1 = -4$$. Точка: (-1; -4).
• При $$x = 0$$: $$f(0) = 0^2 + 4(0) - 1 = -1$$. Точка: (0; -1).
• При $$x = 1$$: $$f(1) = 1^2 + 4(1) - 1 = 1 + 4 - 1 = 4$$. Точка: (1; 4).

б) Область определения и область значений функции:

Область определения (D(f)):

Так как функция является многочленом, она определена для всех действительных чисел. Область определения:

\[ D(f) = (-\infty; +\infty) \]

Область значений (E(f)):

Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы ($$y_0 = -5$$). Так как ветви параболы направлены вверх, функция принимает все значения от -5 до плюс бесконечности.

\[ E(f) = [-5; +\infty) \]

в) Точки пересечения графика с осями координат:

Пересечение с осью Oy (x=0):

Мы уже нашли эту точку при построении графика: $$f(0) = -1$$. Точка пересечения с осью Oy: (0; -1).

Пересечение с осью Ox (f(x)=0):

Решим уравнение $$x^2 + 4x - 1 = 0$$.

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5} \]

Точки пересечения с осью Ox: $$(-2 - \sqrt{5}; 0)$$ и $$(-2 + \sqrt{5}; 0)$$.

Приблизительные значения:

$$\-2 - \sqrt{5} ≈ -2 - 2.236 = -4.236$$

$$\-2 + \sqrt{5} ≈ -2 + 2.236 = 0.236$$

г) Координаты точек пересечения графика функции f(x) и функции y = 4:

Приравняем функцию $$f(x)$$ к 4:

\[ x^2 + 4x - 1 = 4 \]

\[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-5)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \]

Найдем два значения x:

\[ x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Так как $$y=4$$, то точки пересечения имеют координаты: (1; 4) и (-5; 4).