Задана функция: f(x) = x² + 4x − 1. а) Постройте график функции в удобном масштабе; б) укажите область определения и область значений функции; в) укажите точки пересечения графика с осями координат; г) найдите координаты точек пересечения графика данной функции f(x) и функции y = 4.

Преобразуем функцию к виду вершины параболы:

\[f(x)=x^2+4x-1=(x+2)^2-5.\]

График — парабола, ветви направлены вверх, вершина находится в точке \(V(-2;-5)\), ось симметрии: \(x=-2\).

б) Так как квадрат определён при любых действительных значениях \(x\), область определения: \(D(f)=(-\infty;+\infty)\). Минимальное значение функции равно \(-5\), поэтому область значений: \(E(f)=[-5;+\infty)\).

в) Пересечение с осью \(Oy\): при \(x=0\), \(y=-1\), поэтому точка \((0;-1)\).

Пересечения с осью \(Ox\): при \(y=0\):

\[x^2+4x-1=0,\qquad x=\frac{-4\pm\sqrt{16+4}}{2}=-2\pm\sqrt5.\]

Точки пересечения: \((-2-\sqrt5;0)\) и \((-2+\sqrt5;0)\).

г) Для пересечения с прямой \(y=4\) решаем уравнение:

\[x^2+4x-1=4;\qquad x^2+4x-5=0;\qquad (x-1)(x+5)=0.\]

Отсюда \(x=1\) или \(x=-5\). Координаты точек пересечения: \((-5;4)\) и \((1;4)\).

Ответ: \(D(f)=(-\infty;+\infty)\), \(E(f)=[-5;+\infty)\); с осями: \(Oy\): \((0;-1)\), \(Ox\): \((-2-\sqrt5;0)\), \((-2+\sqrt5;0)\); с прямой \(y=4\): \((-5;4)\), \((1;4)\).