Задана функция графиком на промежутке (3; 5). Найдите: а) область определения функции; б) нули функции; в) промежутки, на которых функция принимает положительные значения; г) промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения; д) промежутки возрастания функции; д) промежутки убывания функции; е) наибольшее значение функции в этом промежутке; ж) наименьшее значение функции в этом промежутке.

Решение:

Рассмотрим график функции на промежутке (3; 5).

• а) Область определения функции: На данном промежутке функция определена для всех значений x от 3 до 5, включая крайние точки, если они замкнуты. По графику видно, что крайние точки (x=3 и x=5) являются открытыми, поэтому область определения на этом промежутке: (3; 5).
• б) Нули функции: Нули функции — это значения x, при которых y=0. На графике на промежутке (3; 5) таких точек нет.
• в) Промежутки, на которых функция принимает положительные значения: Функция положительна, когда ее график находится выше оси x. На промежутке (3; 5) график функции находится выше оси x.
• г) Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения: Функция отрицательна, когда ее график находится ниже оси x. На промежутке (3; 5) график функции находится выше оси x, поэтому нет промежутков, где функция отрицательна.
• д) Промежутки возрастания функции: Функция возрастает, когда при увеличении x значение y также увеличивается. На промежутке (3; 5) график функции идет вверх, то есть функция возрастает на всем этом промежутке: (3; 5).
• д) Промежутки убывания функции: Функция убывает, когда при увеличении x значение y уменьшается. На промежутке (3; 5) функция только возрастает, поэтому нет промежутков убывания.
• е) Наибольшее значение функции в этом промежутке: Наибольшее значение функции будет стремиться к значению функции в точке x=5, но так как точка открытая, то строгого наибольшего значения нет. Функция приближается к значению y=6.
• ж) Наименьшее значение функции в этом промежутке: Наименьшее значение функции будет стремиться к значению функции в точке x=3, но так как точка открытая, то строгого наименьшего значения нет. Функция приближается к значению y=2.

Ответ: а) (3; 5) б) Нулей функции на промежутке (3; 5) нет. в) (3; 5) г) Промежутков отрицательных значений нет. д) (3; 5) д) Промежутков убывания нет. е) Функция стремится к 6, но строгого наибольшего значения нет. ж) Функция стремится к 2, но строгого наименьшего значения нет.