Задание 2. Упростите рациональное выражение: a) (\frac{t - 3}{t + 3} - \frac{t + 3}{t - 3}) \cdot \frac{t^2 - 9}{12t^2}; б) (\frac{k}{2} - \frac{k}{6}) : \frac{k^3}{18}.

а) Упростим выражение:

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $$(t + 3)(t - 3)$$.

• $$(\frac{t - 3}{t + 3} - \frac{t + 3}{t - 3}) = \frac{(t - 3)(t - 3)}{(t + 3)(t - 3)} - \frac{(t + 3)(t + 3)}{(t - 3)(t + 3)} = \frac{(t - 3)^2 - (t + 3)^2}{(t + 3)(t - 3)}$$

Раскроем скобки в числителе:

• $$\frac{t^2 - 6t + 9 - (t^2 + 6t + 9)}{(t + 3)(t - 3)} = \frac{t^2 - 6t + 9 - t^2 - 6t - 9}{(t + 3)(t - 3)} = \frac{-12t}{(t + 3)(t - 3)}$$

Преобразуем вторую дробь. Разность квадратов $$(t^2 - 9)$$ можно представить как $$(t - 3)(t + 3)$$:

• $$\frac{t^2 - 9}{12t^2} = \frac{(t - 3)(t + 3)}{12t^2}$$

Теперь умножим первую дробь на вторую:

• $$\frac{-12t}{(t + 3)(t - 3)} \cdot \frac{(t - 3)(t + 3)}{12t^2} = \frac{-12t(t - 3)(t + 3)}{12t^2(t + 3)(t - 3)}$$

Сократим $$12t$$ и $$(t + 3)(t - 3)$$:

• $$\frac{-1}{t}$$

Ответ: $$\frac{-1}{t}$$

б) Упростим выражение:

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель будет 6.

• $$(\frac{k}{2} - \frac{k}{6}) = \frac{3k}{6} - \frac{k}{6} = \frac{3k - k}{6} = \frac{2k}{6} = \frac{k}{3}$$

Теперь выполним деление дробей. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую дробь:

• $$\frac{k}{3} : \frac{k^3}{18} = \frac{k}{3} \cdot \frac{18}{k^3} = \frac{18k}{3k^3}$$

Сократим дробь, сократив $$3k$$ в числителе и знаменателе:

• $$\frac{6}{k^2}$$

Ответ: $$\frac{6}{k^2}$$