Задание №1 ( 4 балла) Даны две геометрические прогрессии {bn}={-7;35;...} и {C}={-200; -40;.} а) Вычислить знаменатель первой прогрессии. b) Вычислить 65. с) Вычислить сз. d) Вычислить 65/C3 Задание №2 ( 5 баллов) Даны две геометрические прогрессии {bn}={2;6;...} и {C}={5;45;...} а) Найти знаменатель первой прогрессии. b) Найти знаменатель второй прогрессии. с) Пусть Ѕ1- сумма первых 2 чисел первой прогрессии. Найти S1 d) Пусть S2- сумма первых 2 чисел второй прогрессии. Найти S2 е) Найти разность S2 - S1 Задание №3 (6 баллов) В инвестиционной программе начальная сумма составляет 7 млн. сум. На каждом этапе средства увеличиваются по закону геометрической прогрессии. Известно, что на п-ом этапе сумма достигла 189 млн. сум, а общая накопленная сумма составила 280 млн. сум. Используя данные, определите а) Сколько этапов длилась инвестиция? b) Чему равен коэффициент роста? Задание №4 (4 балла) а) Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии А, все числа которой положительны, на 49/4 больше, чем сумма двух ее первых чисел. Первое число прогрессии равно 2. Найти сумму этой прогрессии. 2 b) Геометрическая прогрессия имеет вид {1;-;...} 5 Сумма чисел этой прогрессии равна В. Найти число В. с) Найти сумму А+В. Задание №5 ( 6 баллов) Два любителя автомобилей накопили одновременно по 30000000 сум. Первый разместил свои деньги в банке А на 2 года под 30% годовых по простой процентной ставке. Второй разместил свои деньги в банке В на 2 года под 30% годовых по сложной процентной ставке. а) Сколько денег при закрытии счета получит первый любитель автомобилей? b) Сколько денег при закрытии счета получит второй любитель автомобилей? с) На сколько денег больше получит второй автомобилист по сравнению с первым?

Задание №1

а) Знаменатель первой прогрессии: \[q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{35}{-7} = -5\]

b) Пятый член первой прогрессии: \[b_5 = b_1 \cdot q^4 = -7 \cdot (-5)^4 = -7 \cdot 625 = -4375\]

c) Знаменатель второй прогрессии: \[q = \frac{-40}{-200} = \frac{1}{5}\]

Третий член второй прогрессии: \[c_3 = c_2 \cdot q = -40 \cdot \frac{1}{5} = -8\]

d) \[\frac{b_5}{c_3} = \frac{-4375}{-8} = 546.875\]

Ответ: a) -5, b) -4375, c) -8, d) 546.875

Задание №2

а) Знаменатель первой прогрессии: \[q = \frac{6}{2} = 3\]

b) Знаменатель второй прогрессии: \[q = \frac{45}{5} = 9\]

c) Сумма первых двух чисел первой прогрессии: \[S_1 = 2 + 6 = 8\]

d) Сумма первых двух чисел второй прогрессии: \[S_2 = 5 + 45 = 50\]

e) Разность: \[S_2 - S_1 = 50 - 8 = 42\]

Ответ: a) 3, b) 9, c) 8, d) 50, e) 42

Задание №3

Пусть \( b_1 = 7 \) млн, \( S_n = 189 \) млн, \( S = 280 \) млн.

Общая сумма: \[S = b_1 + S_n\]

а) \[280 = 7 + S_n \Rightarrow S_n = 273\]

\[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}\]

Чтобы найти n и q, нужно больше данных.

Ответ: Недостаточно данных для определения количества этапов и коэффициента роста.

Задание №4

а) Пусть первый член равен \( a_1 = 2 \). Сумма бесконечно убывающей прогрессии: \[S = \frac{a_1}{1 - q}\]

Сумма первых двух чисел: \[S_2 = a_1 + a_1q = 2 + 2q\]

По условию: \[\frac{a_1}{1 - q} = \frac{49}{4} + 2 + 2q\]

\[\frac{2}{1 - q} = \frac{49}{4} + 2 + 2q\]

\[\frac{2}{1 - q} = \frac{57}{4} + 2q\]

\[8 = (1 - q)(57 + 8q)\]

\[8 = 57 + 8q - 57q - 8q^2\]

\[8q^2 + 49q - 49 = 0\]

\[D = 49^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-49) = 2401 + 1568 = 3969 = 63^2\]

\[q = \frac{-49 + 63}{16} = \frac{14}{16} = \frac{7}{8}\]

\[S = \frac{2}{1 - \frac{7}{8}} = \frac{2}{\frac{1}{8}} = 16\]

b) \[B = \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}\]

c) \[A + B = 16 + \frac{5}{3} = \frac{48 + 5}{3} = \frac{53}{3}\]

Ответ: a) 16, b) 5/3, c) 53/3

Задание №5

а) Первый любитель автомобилей: \[30000000 \cdot (1 + 0.3 \cdot 2) = 30000000 \cdot 1.6 = 48000000\] сум.

b) Второй любитель автомобилей: \[30000000 \cdot (1 + 0.3)^2 = 30000000 \cdot 1.3^2 = 30000000 \cdot 1.69 = 50700000\] сум.

c) \[50700000 - 48000000 = 2700000\] сум.

Ответ: a) 48000000 сум, b) 50700000 сум, c) на 2700000 сум больше.