Задание № 1 (2 балла) Решите уравнение: 1) 3cos²2x + 2sin 22x = 2,5 sin 4x; 2) 6sin²( -) + 0,5 sin(x-1) = 2+cos²(-); 3) cos x (2 cos x + tg x) = 1; 4) tg(2-x) cos (+2x) = sin(-). Задание № 2 (1 балл) Решите уравнение методом введения вспомогательного аргумента: 1) √3 sinxcos x = 2; √106 2) 2 cos-7 sin= 2 Задание № 3 (1 балл) Решите уравнение: 1 1 tg²x sin x Задание № 4 10. (1 балл) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 5 sinx + 12 cosxa-4 имеет хотя бы одно решение.

Задание № 1

1. 3cos²2x + 2sin²2x = 2,5 sin 4x;
   Используем формулу sin 4x = 2 sin 2x cos 2x:
   3cos²2x + 2sin²2x = 5 sin 2x cos 2x;
   Преобразуем левую часть, используя основное тригонометрическое тождество sin²2x + cos²2x = 1:
   3cos²2x + 2(1 - cos²2x) = 5 sin 2x cos 2x;
   3cos²2x + 2 - 2cos²2x = 5 sin 2x cos 2x;
   cos²2x - 5 sin 2x cos 2x + 2 = 0;
   Разделим обе части уравнения на cos²2x (с учетом, что cos 2x ≠ 0):
   1 - 5 tg 2x + 2(1 + tg²2x) = 0;
   2 tg²2x - 5 tg 2x + 3 = 0;
   Решаем квадратное уравнение относительно tg 2x. Пусть t = tg 2x, тогда:
   2t² - 5t + 3 = 0;
   D = (-5)² - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1;
   t₁ = (5 + 1) / 4 = 1,5;
   t₂ = (5 - 1) / 4 = 1;
   Таким образом, tg 2x = 1,5 или tg 2x = 1.
   Решаем каждое из уравнений:
   tg 2x = 1,5 => 2x = arctg(1,5) + πn, n ∈ Z => x = 0.5 arctg(1,5) + πn/2, n ∈ Z;
   tg 2x = 1 => 2x = π/4 + πn, n ∈ Z => x = π/8 + πn/2, n ∈ Z.
2. 6sin²(π/6 - x/2) + 0,5 sin(x - π/3) = 2 + cos²(π/6 - x/2);
   Используем формулы приведения и свойства синуса и косинуса:
   6sin²(π/6 - x/2) + 0,5 sin(-(π/3 - x)) = 2 + cos²(π/6 - x/2);
   6sin²(π/6 - x/2) - 0,5 sin(π/3 - x) = 2 + cos²(π/6 - x/2);
   Заметим, что sin(π/3 - x) = sin(π/3)cos(x) - cos(π/3)sin(x) = (√3/2)cos(x) - (1/2)sin(x);
   Также, sin²(π/6 - x/2) = (1 - cos(π/3 - x))/2 и cos²(π/6 - x/2) = (1 + cos(π/3 - x))/2;
   Подставляем:
   6 \cdot (1 - cos(π/3 - x))/2 - 0,5 sin(π/3 - x) = 2 + (1 + cos(π/3 - x))/2;
   3 - 3cos(π/3 - x) - 0,5 sin(π/3 - x) = 2 + 0,5 + 0,5 cos(π/3 - x);
   3 - 3cos(π/3 - x) - 0,5 sin(π/3 - x) = 2,5 + 0,5 cos(π/3 - x);
   -3,5 cos(π/3 - x) - 0,5 sin(π/3 - x) + 0,5 = 0;
   Умножим на -1 и разделим на 0,5:
   7 cos(π/3 - x) + sin(π/3 - x) - 1 = 0;
   Введем вспомогательный угол φ: cos φ = 7/√50, sin φ = 1/√50, tg φ = 1/7;
   √50 cos(π/3 - x - φ) = 1;
   cos(π/3 - x - φ) = 1/√50;
   π/3 - x - φ = ±arccos(1/√50) + 2πn, n ∈ Z;
   x = π/3 - φ ± arccos(1/√50) + 2πn, n ∈ Z, где φ = arctg(1/7).
3. cos x (2 cos x + tg x) = 1;
   cos x (2 cos x + sin x / cos x) = 1;
   2 cos²x + sin x = cos x;
   2 (1 - sin²x) + sin x = cos x;
   2 - 2 sin²x + sin x - cos x = 0;
   2 - 2 sin²x + sin x = cos x;
   2 - 2 sin²x + sin x - √(1-sin²x) = 0
   Замена t = sinx
   2 - 2t² + t - √(1-t²) = 0
   Далее выражаем корень
   Разрешения в радикалах нет.
4. tg(2π - x) cos (3π/2 + 2x) = sin(-π/2);
   -tg(x) \cdot sin(2x) = -1
   -sin(x)/cos(x) \cdot 2sin(x)cos(x) = -1
   -2sin²(x) = -1
   sin²(x) = 1/2
   sin(x) = ±√2/2
   x = ±π/4 + πn, n ∈ Z

Задание № 2

1. √3 sin x - cos x = 2;
   Разделим обе части уравнения на 2:
   (√3/2) sin x - (1/2) cos x = 1;
   Введем вспомогательный угол φ = π/6:
   cos(π/6) sin x - sin(π/6) cos x = 1;
   sin(x - π/6) = 1;
   x - π/6 = π/2 + 2πn, n ∈ Z;
   x = π/2 + π/6 + 2πn, n ∈ Z;
   x = 2π/3 + 2πn, n ∈ Z.
2. 2 cos(x/2) - 7 sin(x/2) = √106 / 2
   Решения в радикалах нет

Задание № 3

1/tg²x - 1/sin x - 1 = 0
cos²(x)/sin²(x) - 1/sin(x) - 1 = 0
cos²(x) - sin(x) - sin²(x) = 0
1 - sin²(x) - sin(x) - sin²(x) = 0
-2sin²(x) - sin(x) + 1 = 0
2sin²(x) + sin(x) - 1 = 0
Замена t = sin(x)
2t² + t - 1 = 0
D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9
t₁ = (-1 + 3) / 4 = 1/2
t₂ = (-1 - 3) / 4 = -1
sin(x) = 1/2
x₁ = π/6 + 2πn, n ∈ Z
x₂ = 5π/6 + 2πn, n ∈ Z
sin(x) = -1
x = -π/2 + 2πn, n ∈ Z

Задание № 4

5 sin x + 12 cos x = a - 4
-√(5² + 12²) ≤ a - 4 ≤ √(5² + 12²)
-13 ≤ a - 4 ≤ 13
-9 ≤ a ≤ 17