Задание 5 (20 балла). В треугольнике KLM проведена биссектриса КТ, и КТ = LT. Докажите, что LM > КМ.

Привет! Давай докажем это утверждение вместе. Вот логика решения:

1. По условию, KT – биссектриса угла LKM. Следовательно, угол LKT равен углу TKM. Обозначим эти углы как α.

2. Также дано, что KT = LT. Значит, треугольник LKT – равнобедренный с основанием KL. Следовательно, угол KL T равен углу LKT, то есть углу α.

3. Теперь рассмотрим угол KTL. В треугольнике LKT сумма углов равна 180°, поэтому: \[\angle KTL = 180° - \angle LKT - \angle KLT = 180° - α - α = 180° - 2α\]

4. Угол KTM является смежным с углом KTL, поэтому: \[\angle KTM = 180° - \angle KTL = 180° - (180° - 2α) = 2α\]

5. Теперь сравним углы TKM и KTM. Мы знаем, что угол TKM = α и угол KTM = 2α. Так как 2α > α, то угол KTM больше угла TKM.

6. В треугольнике KTM против большего угла лежит большая сторона. Против угла KTM лежит сторона KM, а против угла TKM лежит сторона KT. Следовательно, KM > KT.

7. Мы знаем, что KT = LT, значит, KM > LT.

8. Теперь рассмотрим треугольник KLM. В этом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Угол LKM = 2α, а угол MLK = α. Значит, угол LKM больше угла MLK. Следовательно, сторона LM, лежащая против угла LKM, больше стороны KM, лежащей против угла MLK.

Таким образом, LM > KM, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что LM > KM.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что углы и стороны соотносятся правильно: больший угол лежит против большей стороны.

Уровень Эксперт: Всегда используй свойства углов и сторон треугольника, чтобы доказывать неравенства. Это часто помогает в решении геометрических задач!