Задание 14 (1 балл). Максим решил копить деньги на новые коньки стоимостью 9 000 рублей. В первый месяц он отложил 1000 рублей. Каждый следующий месяц он добавлял к накоплениям на 200 рублей больше, чем в предыдущий. Через сколько месяцев Максим накопит всю необходимую сумму для покупки новых коньков?

Разбираемся:

Пусть n - количество месяцев, необходимых Максиму для накопления нужной суммы.

Сумма, которую Максим накопит за n месяцев, должна быть равна 9000 рублей.

Сумма арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n\]

где:

• \[a_1 = 1000\] (первый взнос)
• \[d = 200\] (разность арифметической прогрессии)
• \[S_n = 9000\] (общая сумма)

Подставляем значения в формулу:

\[9000 = \frac{2 \cdot 1000 + (n - 1) \cdot 200}{2} \cdot n\]

Упрощаем уравнение:

\[9000 = \frac{2000 + 200n - 200}{2} \cdot n\] \[9000 = \frac{1800 + 200n}{2} \cdot n\] \[9000 = (900 + 100n) \cdot n\] \[9000 = 900n + 100n^2\]

Делим обе части на 100:

\[90 = 9n + n^2\]

Преобразуем в квадратное уравнение:

\[n^2 + 9n - 90 = 0\]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 81 + 360 = 441\] \[n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{441}}{2} = \frac{-9 + 21}{2} = \frac{12}{2} = 6\] \[n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{441}}{2} = \frac{-9 - 21}{2} = \frac{-30}{2} = -15\]

Так как количество месяцев не может быть отрицательным, выбираем положительное значение.

\[n = 6\]

Ответ: 6 месяцев.

Проверка за 10 секунд: Если каждый месяц добавлять 200 рублей к первоначальному взносу в 1000 рублей, то через 6 месяцев будет накоплено 9000 рублей.

Запомни: Формула суммы арифметической прогрессии поможет решить подобные задачи с равномерным увеличением взносов.