Задание 1 (26 баллов). Разложите на множители: a) 81x6 – 0,0016y4 (8 баллов); 9 x² + 18xy⁴ + 144y8 6) 16 (8 баллов); в) х4 - 2x² - 8 (10 баллов). Задание 2 (15 баллов). Вычислите значение выражения (3 – 1)(3 + 1)(3² + 1)(34 + 1)(38 + 1) – 316 + 50.

Задание 1. Разложение на множители

а) 81x⁶ – 0,0016y⁴

Представим выражение как разность квадратов: (9x³)² – (0,04y²)².

Теперь разложим по формуле разности квадратов: (a² - b²) = (a - b)(a + b).

(9x³ – 0,04y²)(9x³ + 0,04y²)

Ответ: (9x³ – 0,04y²)(9x³ + 0,04y²)

б) (9/16)x² + 18xy⁴ + 144y⁸

Представим выражение в виде квадрата суммы: ((3/4)x)² + 2⋅(3/4)x⋅(12y⁴) + (12y⁴)².

Тогда выражение можно записать как ((3/4)x + 12y⁴)².

Ответ: ((3/4)x + 12y⁴)²

в) x⁴ – 2x² – 8

Введем замену t = x², тогда получим квадратное уравнение: t² – 2t – 8 = 0.

Найдем корни квадратного уравнения:

D = (-2)² – 4⋅1⋅(-8) = 4 + 32 = 36.

t₁ = (2 + √36) / 2 = (2 + 6) / 2 = 4.

t₂ = (2 – √36) / 2 = (2 – 6) / 2 = -2.

Вернемся к замене:

x² = 4, x₁ = 2, x₂ = -2.

x² = -2 (нет решения в действительных числах).

Тогда исходное выражение можно разложить как (x – 2)(x + 2)(x² + 2).

Ответ: (x – 2)(x + 2)(x² + 2)

Задание 2. Вычисление значения выражения

(3 – 1)(3 + 1)(3² + 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1) – 3¹⁶ + 50 =

= (3² – 1)(3² + 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1) – 3¹⁶ + 50 =

= (3⁴ – 1)(3⁴ + 1)(3⁸ + 1) – 3¹⁶ + 50 =

= (3⁸ – 1)(3⁸ + 1) – 3¹⁶ + 50 =

= (3¹⁶ – 1) – 3¹⁶ + 50 =

= 3¹⁶ – 1 – 3¹⁶ + 50 = 49.

Ответ: 49