Задание 3 (15 баллов). Решите систему уравнений: \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = 6 \end{cases} \)

Ответ: (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; -2)

Решим систему уравнений:

Шаг 1: Выразим \(y\) через \(x\) из второго уравнения:

\(y = \frac{6}{x}\)

Шаг 2: Подставим выражение для \(y\) в первое уравнение:

\(x^2 + \left(\frac{6}{x}\right)^2 = 13\)

Шаг 3: Упростим уравнение:

\(x^2 + \frac{36}{x^2} = 13\)

Шаг 4: Умножим обе части уравнения на \(x^2\):

\(x^4 + 36 = 13x^2\)

Шаг 5: Перенесем все члены в одну сторону:

\(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\)

Шаг 6: Сделаем замену \(t = x^2\):

\(t^2 - 13t + 36 = 0\)

Шаг 7: Решим квадратное уравнение относительно \(t\):

\(D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\)

\(t_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9\)

\(t_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

Шаг 8: Найдем значения \(x\):

\(x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = -3\)

\(x^2 = 4 \Rightarrow x_3 = 2, x_4 = -2\)

Шаг 9: Найдем соответствующие значения \(y\):

Если \(x = 3\), то \(y = \frac{6}{3} = 2\)

Если \(x = -3\), то \(y = \frac{6}{-3} = -2\)

Если \(x = 2\), то \(y = \frac{6}{2} = 3\)

Если \(x = -2\), то \(y = \frac{6}{-2} = -3\)

Ответ: \((2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; -2)\)

Ответ: (2; 3), (3; 2), (-2; -3), (-3; -2)