Задание 3 (25 баллов). Решите систему уравнений методом замен (x²y² - 5xy = -6 { (x + y = 3

Давай решим эту систему уравнений методом замены. \[\begin{cases}x^2y^2 - 5xy = -6 \\ x + y = 3\end{cases}\] 1. Выразим \(y\) через \(x\) из второго уравнения: \[y = 3 - x\] 2. Подставим это выражение в первое уравнение: \[x^2(3-x)^2 - 5x(3-x) = -6\] 3. Раскроем скобки и упростим: \[x^2(9 - 6x + x^2) - 15x + 5x^2 = -6\] \[9x^2 - 6x^3 + x^4 - 15x + 5x^2 = -6\] \[x^4 - 6x^3 + 14x^2 - 15x + 6 = 0\] 4. Заметим, что если \(xy = t\), то первое уравнение можно переписать как: \[t^2 - 5t + 6 = 0\] Решим это квадратное уравнение относительно \(t\): \[(t-2)(t-3) = 0\] Таким образом, \(t = 2\) или \(t = 3\). Это означает, что \(xy = 2\) или \(xy = 3\). 5. Рассмотрим два случая: а) \(xy = 2\) \begin{cases} xy = 2 \\ x + y = 3 \end{cases} Из второго уравнения \(y = 3 - x\). Подставим в первое: \(x(3-x) = 2\), то есть \(3x - x^2 = 2\) или \(x^2 - 3x + 2 = 0\). Решая это квадратное уравнение, получим \((x-1)(x-2) = 0\), следовательно, \(x = 1\) или \(x = 2\). Если \(x = 1\), то \(y = 3 - 1 = 2\). Если \(x = 2\), то \(y = 3 - 2 = 1\). б) \(xy = 3\) \begin{cases} xy = 3 \\ x + y = 3 \end{cases} Из второго уравнения \(y = 3 - x\). Подставим в первое: \(x(3-x) = 3\), то есть \(3x - x^2 = 3\) или \(x^2 - 3x + 3 = 0\). Решим это квадратное уравнение: \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3\). Так как дискриминант отрицательный, вещественных корней нет. 6. Итого, решения системы: \[(1, 2), (2, 1)\]

Ответ: \[(1, 2), (2, 1)\]

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!