Задание 2 (29 баллов). Решите уравнения: 2 a) 10y4 - 21 = y у² (14 баллов); 1 z+ = 0 б) z-2 (15 баллов). Задание 3 (20 баллов). 2 Найдите все корни иррационального уравнения Ѵa² - а - 3 = 3. Задание 4 (30 баллов). 3-b 10 1 + Решите дробно-рациональное уравнение в - 5 b2 - 5b b

Задание 2a

Решим уравнение: 10y⁴ - 21 = y²

Сделаем замену переменной: пусть t = y², тогда уравнение примет вид:

10t² - t - 21 = 0

Найдем дискриминант: D = (-1)² - 4 * 10 * (-21) = 1 + 840 = 841

Вычислим корни:

t₁ = \(\frac{1 + \sqrt{841}}{20} = \frac{1 + 29}{20} = \frac{30}{20} = 1.5\)

t₂ = \(\frac{1 - \sqrt{841}}{20} = \frac{1 - 29}{20} = \frac{-28}{20} = -1.4\)

Вернемся к замене: y² = t

1) y² = 1.5

y₁ = \(\sqrt{1.5}\)

y₂ = \(-\sqrt{1.5}\)

2) y² = -1.4 (нет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным)

Ответ: y₁ = \(\sqrt{1.5}\), y₂ = \(-\sqrt{1.5}\)

Задание 2б

Решим уравнение: z + \(\frac{1}{z-2}\) = 0

Приведем к общему знаменателю: \(\frac{z(z-2) + 1}{z-2} = 0\)

Условие: z ≠ 2

Решаем уравнение: z(z-2) + 1 = 0

z² - 2z + 1 = 0

(z - 1)² = 0

z = 1

Ответ: z = 1

Задание 3

Решим иррациональное уравнение: \(\sqrt{a^2 - a - 3} = 3\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:

a² - a - 3 = 9

a² - a - 12 = 0

Найдем дискриминант: D = (-1)² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49

Вычислим корни:

a₁ = \(\frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

a₂ = \(\frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

Проверим корни:

1) a = 4: \(\sqrt{4^2 - 4 - 3} = \sqrt{16 - 4 - 3} = \sqrt{9} = 3\) (верно)

2) a = -3: \(\sqrt{(-3)^2 - (-3) - 3} = \sqrt{9 + 3 - 3} = \sqrt{9} = 3\) (верно)

Ответ: a₁ = 4, a₂ = -3

Задание 4

Решим дробно-рациональное уравнение: \(\frac{3-b}{b-5} + \frac{10}{b^2-5b} = \frac{1}{b}\)

Ограничения: b ≠ 5, b ≠ 0

Приведем к общему знаменателю: \(\frac{3-b}{b-5} + \frac{10}{b(b-5)} = \frac{1}{b}\)

Умножим обе части уравнения на b(b-5):

b(3-b) + 10 = b - 5

3b - b² + 10 = b - 5

-b² + 2b + 15 = 0

b² - 2b - 15 = 0

Найдем дискриминант: D = (-2)² - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64

Вычислим корни:

b₁ = \(\frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

b₂ = \(\frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)

Проверим корни:

b = 5 не является решением из-за ограничения b ≠ 5.

b = -3:

\(\frac{3-(-3)}{-3-5} + \frac{10}{(-3)^2-5(-3)} = \frac{1}{-3}\)

\(\frac{6}{-8} + \frac{10}{9+15} = \frac{1}{-3}\)

\(\frac{-3}{4} + \frac{10}{24} = \frac{1}{-3}\)

\(\frac{-3}{4} + \frac{5}{12} = \frac{1}{-3}\)

\(\frac{-9}{12} + \frac{5}{12} = \frac{1}{-3}\)

\(\frac{-4}{12} = \frac{1}{-3}\)

\(\frac{-1}{3} = \frac{1}{-3}\) (верно)

Ответ: b = -3