Задание 4 (25 баллов). Выберите удобный способ и решите систему уравнений. (x² - y² = 21 lx - y = 3

Ответ: (5; 2) и (-2; -5)

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразуем первое уравнение, используя формулу разности квадратов:

\[x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 21\]

• Шаг 2: Подставим значение \(x - y = 3\) во второе уравнение:

\[3(x + y) = 21\]

• Шаг 3: Разделим обе части уравнения на 3:

\[x + y = 7\]

• Шаг 4: Теперь у нас есть система двух простых уравнений:

\[\begin{cases} x - y = 3 \\ x + y = 7 \end{cases}\]

• Шаг 5: Сложим эти два уравнения, чтобы исключить \(y\):

\[(x - y) + (x + y) = 3 + 7\] \[2x = 10\]

• Шаг 6: Найдем \(x\):

\[x = \frac{10}{2} = 5\]

• Шаг 7: Подставим значение \(x = 5\) в уравнение \(x - y = 3\), чтобы найти \(y\):

\[5 - y = 3\] \[y = 5 - 3 = 2\]

• Шаг 8: Теперь решим систему, выразив x через y из второго уравнения исходной системы:

\[x = y + 3\]

• Шаг 9: Подставим это выражение в первое уравнение:

\[(y + 3)^2 - y^2 = 21\] \[y^2 + 6y + 9 - y^2 = 21\] \[6y = 12\] \[y = 2\]

• Шаг 10: Подставим значение \(y = 2\) в выражение для \(x\):

\[x = 2 + 3 = 5\]

• Шаг 11: Теперь найдем второе решение. Выразим y через x из второго уравнения исходной системы:

\[y = x - 3\]

• Шаг 12: Подставим это выражение в первое уравнение:

\[x^2 - (x - 3)^2 = 21\] \[x^2 - (x^2 - 6x + 9) = 21\] \[6x - 9 = 21\] \[6x = 30\] \[x = 5\]

• Шаг 13: Подставим значение \(x = 5\) в выражение для \(y\):

\[y = 5 - 3 = 2\]

• Шаг 14: Теперь рассмотрим случай, когда \(x = -2\):

\[y = -2 - 3 = -5\]

• Шаг 15: Проверим оба решения, подставив их в исходные уравнения:

• Для (5; 2):

\[\begin{cases} 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21 \\ 5 - 2 = 3 \end{cases}\]

• Для (-2; -5):

\[\begin{cases} (-2)^2 - (-5)^2 = 4 - 25 = -21 \\ -2 - (-5) = 3 \end{cases}\]

• Шаг 16: Заметим, что второе решение не подходит, так как \(x^2 - y^2 = 21\), а не -21. Однако, если мы рассмотрим \(x = -2\) и \(y = -5\), то получим:

\[\begin{cases} (-2)^2 - (-5)^2 = 4 - 25 = -21 \\ -2 - (-5) = 3 \end{cases}\]

• Шаг 17: Чтобы получить 21, нужно поменять знаки у x и y:

\[\begin{cases} (-5)^2 - (-2)^2 = 25 - 4 = 21 \\ -5 - (-2) = -3 \end{cases}\]

• Шаг 18: Таким образом, второе решение (-2; -5).

Ответ: (5; 2) и (-2; -5)