Задание № 1. Дан $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ параллелепипед. Точки K и T – середины ребер BC и $$D_1C_1$$ соответственно. Разложите векторы: а) $$\overline{AC}$$; 6) $$\overline{AK}$$; в) $$\overline{CT}$$;г) $$\overline{CA_1}$$; д) $$\overline{DK}$$; е) $$\overline{BT}$$; ж) $$\overline{A_1K}$$ по векторам $$\overline{CB}$$,$$\overline{CD}$$,$$\overline{CC_1}$$. Задание №2. Дан ABCD - тетраэдр. Точка М – точка пересечения медиан треугольника АВС, причем $$DA_\overrightarrow{a}$$ $$DB_\overrightarrow{b}$$ $$DC_\overrightarrow{c}$$. Разложите векторы: a) $$\overline{DM}$$, 6) $$\overline{AB}$$, в) $$\overline{AM}$$ по векторам: $$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{b}$$, $$\overrightarrow{c}$$

Задание №1

Давай разберем по порядку каждый случай:

a) Разложим вектор $$\overline{AC}$$ по векторам $$\overline{CB}$$, $$\overline{CD}$$, $$\overline{CC_1}$$. Заметим, что $$\overline{AC} = \overline{AD} + \overline{DC}$$. Так как $$\overline{AD} = \overline{BC} = -\overline{CB}$$ и $$\overline{DC} = -\overline{CD}$$, то $$\overline{AC} = -\overline{CB} - \overline{CD}$$.

б) Разложим вектор $$\overline{AK}$$. Так как K - середина BC, то $$\overline{BK} = \frac{1}{2}\overline{BC} = -\frac{1}{2}\overline{CB}$$. Тогда $$\overline{AK} = \overline{AB} + \overline{BK} = \overline{AD} + \overline{DC} + \overline{BK} = -\overline{CB} - \overline{CD} - \frac{1}{2}\overline{CB} = -\frac{3}{2}\overline{CB} - \overline{CD}$$.

в) Разложим вектор $$\overline{CT}$$. Так как T - середина $$D_1C_1$$, то $$\overline{C_1T} = \frac{1}{2}\overline{C_1D_1} = \frac{1}{2}\overline{CD}$$. Тогда $$\overline{CT} = \overline{CC_1} + \overline{C_1T} = \overline{CC_1} + \frac{1}{2}\overline{CD}$$.

г) Разложим вектор $$\overline{CA_1}$$. $$\overline{CA_1} = \overline{CC_1} + \overline{CA} = \overline{CC_1} - \overline{AC} = \overline{CC_1} - (-\overline{CB} - \overline{CD}) = \overline{CC_1} + \overline{CB} + \overline{CD}$$.

д) Разложим вектор $$\overline{DK}$$. $$\overline{DK} = \overline{DC} + \overline{CK} = -\overline{CD} + \frac{1}{2}\overline{CB}$$.

е) Разложим вектор $$\overline{BT}$$. $$\overline{BT} = \overline{BC} + \overline{CC_1} + \overline{C_1T} = -\overline{CB} + \overline{CC_1} + \frac{1}{2}\overline{CD}$$.

ж) Разложим вектор $$\overline{A_1K}$$. $$\overline{A_1K} = \overline{A_1B_1} + \overline{B_1K} = \overline{AB} + \overline{B_1K} = -\overline{CB} - \overline{CD} + \overline{B_1K}$$. Так как $$\overline{B_1K} = \overline{B_1B} + \overline{BK} = -\overline{CC_1} - \frac{1}{2}\overline{CB}$$, то $$\overline{A_1K} = -\overline{CB} - \overline{CD} - \overline{CC_1} - \frac{1}{2}\overline{CB} = -\frac{3}{2}\overline{CB} - \overline{CD} - \overline{CC_1}$$.

Задание №2

a) Разложим вектор $$\overline{DM}$$ по векторам $$\overrightarrow{a}$$, $$\overrightarrow{b}$$, $$\overrightarrow{c}$$. Так как M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то $$\overline{AM} = \frac{1}{3}(\overline{AB} + \overline{AC})$$. Тогда $$\overline{DM} = \overline{DA} + \overline{AM} = -\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}(\overline{AB} + \overline{AC})$$. Так как $$\overline{AB} = \overline{DB} - \overline{DA} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$$ и $$\overline{AC} = \overline{DC} - \overline{DA} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}$$, то $$\overline{DM} = -\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}) = -\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c} - \frac{1}{3}\overrightarrow{a} = -\frac{5}{3}\overrightarrow{a} + \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c}$$.

б) $$\overline{AB} = \overline{DB} - \overline{DA} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}$$.

в) $$\overline{AM} = \frac{1}{3}(\overline{AB} + \overline{AC}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{b} + \frac{1}{3}\overrightarrow{c} - \frac{2}{3}\overrightarrow{a}$$.

Ответ: смотри выше решение.

У тебя все получится! Главное - не бояться трудностей и верить в свои силы!