Задание № 1. Даны координаты вершин пирамиды А1, А2, А3, А4. Требуется найти: 1) координаты и модули векторов А1А2 и А1А4; 2) угол между рёбрами А1А2 и А1А4; 3) площадь грани А1А2Аз; 4) объём пирамиды; 5) уравнение плоскости А1А243; 6) уравнения прямой А1А2; 7) уравнения высоты и её длину, опущенной из вершины А4 на грань А1А2A3. Сделать чертёж. Вариант 1. А1(-1;2;1), A2(-2;2;5), A3(-3;3;1), A4(-1;4;3).

Выполним задание.

1) Найдем координаты векторов $$\overrightarrow{A_1A_2}$$ и $$\overrightarrow{A_1A_4}$$:

$$\overrightarrow{A_1A_2} = (-2-(-1); 2-2; 5-1) = (-1; 0; 4)$$.

$$\overrightarrow{A_1A_4} = (-1-(-1); 4-2; 3-1) = (0; 2; 2)$$.

Найдем модули этих векторов:

$$|\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 0 + 16} = \sqrt{17}$$.

$$|\overrightarrow{A_1A_4}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$.

2) Найдем угол между ребрами $$A_1A_2$$ и $$A_1A_4$$.

Угол $$\varphi$$ между векторами $$\overrightarrow{A_1A_2}$$ и $$\overrightarrow{A_1A_4}$$ можно найти по формуле:

$$\cos(\varphi) = \frac{\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_4}}{|\overrightarrow{A_1A_2}| \cdot |\overrightarrow{A_1A_4}|}$$.

$$\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{A_1A_4} = (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 0 + 0 + 8 = 8$$.

$$\cos(\varphi) = \frac{8}{\sqrt{17} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{34}}$$.

$$\varphi = \arccos(\frac{4}{\sqrt{34}})$$.

3) Найдем площадь грани $$A_1A_2A_3$$.

Найдем вектор $$\overrightarrow{A_1A_3}$$.

$$\overrightarrow{A_1A_3} = (-3-(-1); 3-2; 1-1) = (-2; 1; 0)$$.

Площадь грани $$A_1A_2A_3$$ равна половине модуля векторного произведения векторов $$\overrightarrow{A_1A_2}$$ и $$\overrightarrow{A_1A_3}$$:

$$S = \frac{1}{2} |[\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_3}]|$$.

$$[\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_3}] = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 4 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 4 \cdot 1) - \mathbf{j}((-1) \cdot 0 - 4 \cdot (-2)) + \mathbf{k}((-1) \cdot 1 - 0 \cdot (-2)) = -4\mathbf{i} - 8\mathbf{j} - \mathbf{k} = (-4; -8; -1)$$.

$$|[\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_3}]| = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9$$.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4.5 \text{ кв. ед.}$$.

4) Найдем объем пирамиды.

Объем пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов $$\overrightarrow{A_1A_2}$$, $$\overrightarrow{A_1A_3}$$ и $$\overrightarrow{A_1A_4}$$:

$$V = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_3}, \overrightarrow{A_1A_4})|$$.

$$(\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_3}, \overrightarrow{A_1A_4}) = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 4 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} = -1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -1(1 \cdot 2 - 0 \cdot 2) - 0 + 4((-2) \cdot 2 - 1 \cdot 0) = -1 \cdot 2 + 4 \cdot (-4) = -2 - 16 = -18$$.

$$V = \frac{1}{6} |-18| = \frac{1}{6} \cdot 18 = 3 \text{ куб. ед.}$$.

5) Найдем уравнение плоскости $$A_1A_2A_3$$.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки $$A_1$$, $$A_2$$ и $$A_3$$, имеет вид:

$$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0$$.

$$\begin{vmatrix} x + 1 & y - 2 & z - 1 \\ -2 + 1 & 2 - 2 & 5 - 1 \\ -3 + 1 & 3 - 2 & 1 - 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x + 1 & y - 2 & z - 1 \\ -1 & 0 & 4 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$.

(x + 1)(0 \cdot 0 - 4 \cdot 1) - (y - 2)((-1) \cdot 0 - 4 \cdot (-2)) + (z - 1)((-1) \cdot 1 - 0 \cdot (-2)) = 0$$.

(x + 1)(-4) - (y - 2)(8) + (z - 1)(-1) = 0$$.

-4x - 4 - 8y + 16 - z + 1 = 0$$.

-4x - 8y - z + 13 = 0$$.

4x + 8y + z - 13 = 0$$.

6) Найдем уравнения прямой $$A_1A_2$$.

Уравнения прямой, проходящей через две точки $$A_1$$ и $$A_2$$, имеют вид:

$$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$$.

$$\frac{x + 1}{-2 + 1} = \frac{y - 2}{2 - 2} = \frac{z - 1}{5 - 1}$$.

$$\frac{x + 1}{-1} = \frac{y - 2}{0} = \frac{z - 1}{4}$$.

7) Найдем уравнения высоты и ее длину, опущенной из вершины $$A_4$$ на грань $$A_1A_2A_3$$.

Вектор нормали плоскости $$A_1A_2A_3$$ равен $$\overrightarrow{n} = (4; 8; 1)$$.

Прямая, проходящая через точку $$A_4$$ перпендикулярно плоскости $$A_1A_2A_3$$, имеет вид:

$$\frac{x - x_4}{n_x} = \frac{y - y_4}{n_y} = \frac{z - z_4}{n_z}$$.

$$\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 4}{8} = \frac{z - 3}{1}$$.

Найдем точку пересечения этой прямой с плоскостью $$A_1A_2A_3$$.

Выразим x, y, z через параметр t:

$$\frac{x + 1}{4} = t$$, $$x = 4t - 1$$.

$$\frac{y - 4}{8} = t$$, $$y = 8t + 4$$.

$$\frac{z - 3}{1} = t$$, $$z = t + 3$$.

Подставим эти значения в уравнение плоскости:

4(4t - 1) + 8(8t + 4) + (t + 3) - 13 = 0$$.

16t - 4 + 64t + 32 + t + 3 - 13 = 0$$.

81t + 18 = 0$$.

81t = -18$$.

t = -$$\frac{18}{81}$$ = -$$\frac{2}{9}$$.

Найдем координаты точки пересечения:

$$x = 4 \cdot (-\frac{2}{9}) - 1 = -\frac{8}{9} - 1 = -\frac{17}{9}$$.

$$y = 8 \cdot (-\frac{2}{9}) + 4 = -\frac{16}{9} + 4 = \frac{20}{9}$$.

$$z = -\frac{2}{9} + 3 = \frac{25}{9}$$.

Координаты точки пересечения: $$(\frac{-17}{9}; \frac{20}{9}; \frac{25}{9})$$.

Найдем длину высоты:

$$d = \sqrt{(-\frac{17}{9} + 1)^2 + (\frac{20}{9} - 4)^2 + (\frac{25}{9} - 3)^2} = \sqrt{(-\frac{8}{9})^2 + (-\frac{16}{9})^2 + (-\frac{2}{9})^2} = \sqrt{\frac{64}{81} + \frac{256}{81} + \frac{4}{81}} = \sqrt{\frac{324}{81}} = \sqrt{4} = 2$$.

Ответ: 1) $$\overrightarrow{A_1A_2} = (-1; 0; 4)$$, $$\overrightarrow{A_1A_4} = (0; 2; 2)$$, $$|\overrightarrow{A_1A_2}| = \sqrt{17}$$, $$|\overrightarrow{A_1A_4}| = 2\sqrt{2}$$; 2) $$\varphi = \arccos(\frac{4}{\sqrt{34}})$$; 3) $$S = 4.5 \text{ кв. ед.}$$; 4) $$V = 3 \text{ куб. ед.}$$; 5) $$4x + 8y + z - 13 = 0$$; 6) $$\frac{x + 1}{-1} = \frac{y - 2}{0} = \frac{z - 1}{4}$$; 7) $$\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 4}{8} = \frac{z - 3}{1}$$, $$d=2$$.