Задание № 13 а) Решите уравнение 2 cos² х - 3 sin(-x) - 3 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2;4π].

Краткое пояснение:

Решение:

а) Решим уравнение:

Используем четность синуса: sin(-x) = -sin(x). Тогда уравнение примет вид:

\[2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0\]

Заменим cos² x на 1 - sin² x, используя основное тригонометрическое тождество:

\[2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0\]

\[2 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 3 = 0\]

\[-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0\]

Умножим обе части на -1:

\[2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0\]

Введем замену t = sin x, тогда уравнение станет квадратным:

\[2t^2 - 3t + 1 = 0\]

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1\]

\[t_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1\]

\[t_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}\]

Вернемся к замене:

\[\sin x = 1\] или \(\sin x = \frac{1}{2}\)

Решим каждое из уравнений:

1) \(\sin x = 1\)

\[x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

2) \(\sin x = \frac{1}{2}\)

\[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

\[x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\]

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку \( [\frac{5\pi}{2}; 4\pi] \).

1) \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\)

Подставим n = 1: \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}\). Это значение входит в отрезок.

Подставим n = 2: \(x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2}\). Это значение не входит в отрезок, так как \(\frac{9\pi}{2} > 4\pi\).

2) \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\)

Подставим k = 1: \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}\). Это значение входит в отрезок, так как \(\frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6}\) и \(4\pi = \frac{24\pi}{6}\).

Подставим k = 2: \(x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6}\). Это значение не входит в отрезок, так как \(\frac{25\pi}{6} > 4\pi\).

3) \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m\)

Подставим m = 1: \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}\). Это значение входит в отрезок.

Подставим m = 2: \(x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6}\). Это значение не входит в отрезок, так как \(\frac{29\pi}{6} > 4\pi\).

Ответ:

а) \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\), \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\), \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}\)

б) \(\frac{5\pi}{2}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}\)