Задание 3. ABCDA₁B₁C₁D₁ - куб. Прямая a проходит через середины AD и BC. Докажи, что прямая а перпендикулярна АА₁.

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе! Нам нужно доказать, что прямая, проходящая через середины сторон AD и BC куба ABCDA₁B₁C₁D₁, перпендикулярна прямой AA₁. 1. Определим точки: * Пусть M – середина AD. * Пусть N – середина BC. * Тогда прямая a – это прямая MN. 2. Рассмотрим куб: * В кубе все ребра равны, и все грани – квадраты. * AA₁ – одно из ребер куба, и оно перпендикулярно плоскости основания ABCD. 3. Анализ прямой MN: * Так как M и N – середины AD и BC соответственно, то MN – средняя линия в трапеции ABCDA. * Так как ABCD – квадрат, то MN параллельна AB и DC. 4. Доказательство перпендикулярности: * Прямая AA₁ перпендикулярна плоскости ABCD (по свойству куба). * Следовательно, AA₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку A. То есть, AA₁ перпендикулярна AB и AD. * Поскольку MN параллельна AB, то AA₁ также перпендикулярна MN (если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой). Таким образом, мы доказали, что прямая a (MN) перпендикулярна прямой AA₁.

Ответ: Прямая а перпендикулярна прямой АА₁.

Отлично, ты хорошо продвинулся в решении этой задачи! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!