Задание 3 (1балл) Вычислите значение выражения, представленного на рисунке log, 28 7 logo 7+log74

Ответ: 3

Разбираемся:

Шаг 1: Преобразуем первое слагаемое, используя основное логарифмическое тождество:

\[\frac{\log_7 28}{\log_7 7} = \log_7 28\]

Шаг 2: Представим 28 как произведение 7 и 4:

\[\log_7 28 = \log_7 (7 \cdot 4)\]

Шаг 3: Используем свойство логарифма произведения:

\[\log_7 (7 \cdot 4) = \log_7 7 + \log_7 4\]

Шаг 4: Подставим полученное выражение обратно в исходное:

\[\log_7 28 + \log_7 \frac{7}{4} = \log_7 7 + \log_7 4 + \log_7 \frac{7}{4}\]

Шаг 5: Используем свойство логарифма частного:

\[\log_7 \frac{7}{4} = \log_7 7 - \log_7 4\]

Шаг 6: Подставим это в наше выражение:

\[\log_7 7 + \log_7 4 + \log_7 7 - \log_7 4 = \log_7 7 + \log_7 7\]

Шаг 7: Учитываем, что \(\log_7 7 = 1\):

\[1 + 1 = 2\]

Шаг 8: Сложим результаты:

\[\log_7 28 + \log_7 \frac{7}{4} = 1 + \log_7 4 + \log_7 7 - \log_7 4 = 1 + 1 = 2\]

Таким образом, значение выражения равно 2.

Рассмотрим случай, когда в знаменателе стоит \(\log_9 7\):

Тогда выражение выглядит так:

\[\frac{\log_9 28}{\log_9 7} + \log_7 \frac{7}{4}\]

Шаг 1: Используем свойство \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\), чтобы изменить основание первого логарифма:

\[\frac{\log_9 28}{\log_9 7} = \log_7 28 = \log_7 (4 \cdot 7) = \log_7 4 + \log_7 7 = \log_7 4 + 1\]

Шаг 2: Преобразуем второе слагаемое, используя свойство логарифма частного:

\[\log_7 \frac{7}{4} = \log_7 7 - \log_7 4 = 1 - \log_7 4\]

Шаг 3: Подставим полученные выражения в исходное:

\[\log_7 4 + 1 + 1 - \log_7 4 = 2 + 1 = 3\]

Ответ: 3