Определим, в каком случае следует писать букву Е.
А. Начатый рассказ (от глагола "начать")
Б. Борющийся народ (от глагола "бороться")
В слове "начатый" пишется гласная А, так как это страдательное причастие прошедшего времени, образованное от глагола «начать». В слове "борющийся" пишется гласная Ю, так как это действительное причастие настоящего времени, образованное от глагола «бороться».
Следовательно, ни в одном из вариантов не требуется написание буквы Е.
Ответ: ни в одном из предложенных вариантов