Задание 20. 2 часть 2 Решите неравенство: (x² - 4x – 21) (x2 – 9x + 14) ≤ 0.

Разложим каждый квадратный трехчлен на множители вида (x - x₁) (x - x₂), где x₁ и x₂ корни трехчлена.

• Первый трехчлен: x² - 4x - 21
Решаем уравнение x² - 4x - 21 = 0 Дискриминант D = (-4)² - 4 * 1 * (-21) = 16 + 84 = 100 Корни: x₁ = (4 + √100) / 2 = (4 + 10) / 2 = 7, x₂ = (4 - √100) / 2 = (4 - 10) / 2 = -3 Разложение: (x - 7)(x + 3)
• Второй трехчлен: x² - 9x + 14
Решаем уравнение x² - 9x + 14 = 0 Дискриминант D = (-9)² - 4 * 1 * 14 = 81 - 56 = 25 Корни: x₁ = (9 + √25) / 2 = (9 + 5) / 2 = 7, x₂ = (9 - √25) / 2 = (9 - 5) / 2 = 2 Разложение: (x - 7)(x - 2)

Исходное неравенство принимает вид: (x - 7)(x + 3)(x - 7)(x - 2) ≤ 0

Или: (x - 7)²(x + 3)(x - 2) ≤ 0

Найдем нули функции (x - 7)²(x + 3)(x - 2) = 0

Нули функции: x = 7 (кратности 2), x = -3, x = 2

Расставим нули на числовой прямой и определим знаки на каждом интервале.

        +               -               +                +
<-------------------------------------------------------------------->
             (-3)            (2)             (7)

Интервалы, где функция ≤ 0: [-3; 2] и точка x = 7, так как (x - 7)² = 0 при x = 7.

Объединяем полученные интервалы и точку: [-3; 2] ∪ {7}