Задание 2. Даны 7 последовательных чисел. Сумма некоторых трёх из них равна 2026, а сумма трёх других 2032. Чему может быть равно оставшееся число, не попавшее ни в одну из этих сумм?

Решение:

Пусть даны 7 последовательных чисел: $$x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5, x+6$$.

Сумма трех из них равна 2026, а сумма трех других равна 2032.

Пусть $$x+a + x+b + x+c = 2026$$, где $$0 \le a < b < c \le 6$$

И $$x+d + x+e + x+f = 2032$$, где $$0 \le d < e < f \le 6$$

Тогда $$3x + a + b + c = 2026$$ и $$3x + d + e + f = 2032$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$(3x + d + e + f) - (3x + a + b + c) = 2032 - 2026$$

$$d + e + f - a - b - c = 6$$

Так как все числа последовательные, можно предположить, что x - целое число.

$$3x = 2026 - (a + b + c)$$. Отсюда $$2026 - (a + b + c)$$ должно делиться на 3.

Аналогично, $$3x = 2032 - (d + e + f)$$. Отсюда $$2032 - (d + e + f)$$ должно делиться на 3.

Сумма 2026 дает остаток 1 при делении на 3. Следовательно, $$a+b+c$$ должно давать остаток 1 при делении на 3.

Сумма 2032 дает остаток 1 при делении на 3. Следовательно, $$d+e+f$$ должно давать остаток 1 при делении на 3.

Рассмотрим случай, когда $$a+b+c = 1+2+3 = 6$$ и $$d+e+f = 0+4+6 = 10$$. Тогда $$a+b+c$$ даёт остаток 0, а $$d+e+f$$ даёт остаток 1. Этот случай не подходит.

Нужно подобрать такие значения a, b, c, чтобы их сумма давала остаток 1 при делении на 3. Аналогично, для d, e, f.

Пусть a=0, b=1, c=3, тогда a+b+c=4. Остаток 1. Пусть d=2, e=4, f=5, тогда d+e+f=11. Остаток 2. Этот случай не подходит.

Пусть a=0, b=1, c=3, тогда a+b+c=4. Остаток 1. Пусть d=2, e=4, f=6, тогда d+e+f=12. Остаток 0. Этот случай не подходит.

Пусть a=0, b=1, c=3, тогда a+b+c=4. Остаток 1. $$3x = 2026 - 4 = 2022$$, $$x=674$$ Последовательность чисел: 674, 675, 676, 677, 678, 679, 680. $$x+0+x+1+x+3 = 2026$$$$3x + 4 = 2026$$$$2026-4/3 = 2022/3 = 674$$Тогда $$x=674$$ и числа 674, 675, 677 входят в первую сумму.

Вторая сумма: $$x+d+x+e+x+f = 2032$$

$$d, e, f
e 0, 1, 3$$

Пусть $$d=2, e=4, f=5$$ $$x+2 + x+4 + x+5 = 3x + 11 = 3(674) + 11 = 2022 + 11 = 2033$$. Не подходит

Пусть $$d=2, e=4, f=6$$ $$x+2 + x+4 + x+6 = 3x + 12 = 3(674) + 12 = 2022 + 12 = 2034$$. Не подходит

Числа должны быть: 674, 675, 676, 677, 678, 679, 680. 674+675+677=2026. Оставшееся число не попавшее ни в одну из этих сумм?

Ищем 3 числа, дающие в сумме 2032. $$3x+g=2032. 2032-g$$ должно делиться на 3. 2032 остаток 1. Значит g тоже должно давать остаток 1 при делении на 3. Какие числа не попали в 2026: 676, 678, 679, 680. Тогда g может быть 676, 679.

Ответ: 676, 679