Задание 1.8. Даны четыре точки A1(x1;91;271), A2(X2,Y2;22), A3(X3;3;73) и 44(x4;y4;24). Составить уравнения: а) плоскости А1А2А3; б) прямой А1A2; в) прямой А4М, перпендикулярной к плоскости А1А2 А3; г) прямой АзN, параллельной прямой А1А2; д) плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно к прямой А1А2. Вычислить: е) синус угла между прямой А1 А4 и плоскостью А1 А2 А3. ж) косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3.

Рассмотрим Вариант 1:

A1(3; 1; 4), A2(-1; 6; 1), A3(1; 1; 6), A4(0; 4; -1).

а) Уравнение плоскости А1А2А3:

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки А1(x1, y1, z1), А2(x2, y2, z2), А3(x3, y3, z3), можно использовать определитель:

$$ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \ \end{vmatrix} = 0 $$

Подставляем координаты точек A1(3; 1; 4), A2(-1; 6; 1), A3(1; 1; 6):

$$ \begin{vmatrix} x - 3 & y - 1 & z - 4 \ -1 - 3 & 6 - 1 & 1 - 4 \ 1 - 3 & 1 - 1 & 6 - 4 \ \end{vmatrix} = 0 $$ $$ \begin{vmatrix} x - 3 & y - 1 & z - 4 \ -4 & 5 & -3 \ -2 & 0 & 2 \ \end{vmatrix} = 0 $$

Раскрываем определитель:

(x - 3)(5 * 2 - (-3) * 0) - (y - 1)((-4) * 2 - (-3) * (-2)) + (z - 4)((-4) * 0 - 5 * (-2)) = 0

(x - 3)(10) - (y - 1)(-8 - 6) + (z - 4)(0 + 10) = 0

10(x - 3) + 14(y - 1) + 10(z - 4) = 0

10x - 30 + 14y - 14 + 10z - 40 = 0

10x + 14y + 10z - 84 = 0

5x + 7y + 5z - 42 = 0

Уравнение плоскости А1А2А3: 5x + 7y + 5z - 42 = 0

б) Уравнение прямой А1A2:

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки А1(x1, y1, z1) и А2(x2, y2, z2), можно использовать параметрические уравнения:

$$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} $$

Подставляем координаты точек A1(3; 1; 4) и A2(-1; 6; 1):

$$ \frac{x - 3}{-1 - 3} = \frac{y - 1}{6 - 1} = \frac{z - 4}{1 - 4} $$ $$ \frac{x - 3}{-4} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 4}{-3} $$

Уравнение прямой А1A2: (x - 3)/-4 = (y - 1)/5 = (z - 4)/-3

в) Уравнение прямой А4М, перпендикулярной плоскости А1А2А3:

Прямая, перпендикулярная плоскости, имеет направляющий вектор, параллельный нормальному вектору плоскости. Нормальный вектор плоскости А1А2А3 - это (5, 7, 5).

Уравнение прямой, проходящей через точку А4(x0, y0, z0) и параллельной вектору (a, b, c):

$$ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} $$

Подставляем координаты точки A4(0; 4; -1) и нормальный вектор (5, 7, 5):

$$ \frac{x - 0}{5} = \frac{y - 4}{7} = \frac{z - (-1)}{5} $$

Уравнение прямой A4M: x/5 = (y - 4)/7 = (z + 1)/5

г) Уравнение прямой A3N, параллельной прямой A1A2:

Прямая A3N параллельна прямой A1A2, значит, у них одинаковый направляющий вектор. Направляющий вектор прямой А1А2 - это (-4, 5, -3).

Уравнение прямой, проходящей через точку А3(x0, y0, z0) и параллельной вектору (a, b, c):

$$ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} $$

Подставляем координаты точки A3(1; 1; 6) и направляющий вектор (-4, 5, -3):

$$ \frac{x - 1}{-4} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z - 6}{-3} $$

Уравнение прямой A3N: (x - 1)/-4 = (y - 1)/5 = (z - 6)/-3

д) Уравнение плоскости, проходящей через точку А4 перпендикулярно прямой А1А2:

Плоскость, перпендикулярная прямой, имеет нормальный вектор, параллельный направляющему вектору прямой. Направляющий вектор прямой А1А2 - это (-4, 5, -3).

Уравнение плоскости, проходящей через точку А4(x0, y0, z0) и с нормальным вектором (a, b, c):

a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0

Подставляем координаты точки A4(0; 4; -1) и направляющий вектор (-4, 5, -3):

-4(x - 0) + 5(y - 4) - 3(z - (-1)) = 0

-4x + 5y - 20 - 3z - 3 = 0

-4x + 5y - 3z - 23 = 0

Уравнение плоскости: -4x + 5y - 3z - 23 = 0

е) Синус угла между прямой А1 А4 и плоскостью А1 А2 А3.

Направляющий вектор прямой А1А4: (0-3, 4-1, -1-4) = (-3, 3, -5)

Нормальный вектор плоскости А1А2А3: (5, 7, 5)

Синус угла между прямой и плоскостью вычисляется по формуле:

$$ sin(\phi) = \frac{|n \cdot v|}{||n|| \cdot ||v||} $$

где n - нормальный вектор плоскости, v - направляющий вектор прямой

n \cdot v = 5*(-3) + 7*3 + 5*(-5) = -15 + 21 - 25 = -19

||n|| = \sqrt{5^2 + 7^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 49 + 25} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}

||v|| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 9 + 25} = \sqrt{43}

$$ sin(\phi) = \frac{|-19|}{3\sqrt{11} \cdot \sqrt{43}} = \frac{19}{3\sqrt{473}} $$ $$ sin(\phi) = \frac{19}{3 \cdot 21.7485} = \frac{19}{65.2455} \approx 0.2912 $$

ж) Косинус угла между координатной плоскостью Оху и плоскостью А1А2А3.

Нормальный вектор плоскости Oxy: (0, 0, 1)

Нормальный вектор плоскости А1А2А3: (5, 7, 5)

Косинус угла между плоскостями вычисляется по формуле:

$$ cos(\theta) = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{||n_1|| \cdot ||n_2||} $$

где n1 и n2 - нормальные векторы плоскостей

n1 \cdot n2 = 0*5 + 0*7 + 1*5 = 5

||n1|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1

||n2|| = \sqrt{5^2 + 7^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 49 + 25} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}

$$ cos(\theta) = \frac{|5|}{1 \cdot 3\sqrt{11}} = \frac{5}{3\sqrt{11}} $$ $$ cos(\theta) = \frac{5}{3 \cdot 3.3166} = \frac{5}{9.9498} \approx 0.5025 $$

Ответ: а) 5x + 7y + 5z - 42 = 0; б) (x - 3)/-4 = (y - 1)/5 = (z - 4)/-3; в) x/5 = (y - 4)/7 = (z + 1)/5; г) (x - 1)/-4 = (y - 1)/5 = (z - 6)/-3; д) -4x + 5y - 3z - 23 = 0; е) 0.2912; ж) 0.5025