Задание 3. Действия с событиями. 1) Найдите Р(А), если Р(А) = 0,113. 2) Могут ли события А и В быть противоположными, если Р(А) = 0,63, P(B)= 0,27? 3) Вероятность того, что новый принтер прослужит больше года, равна 0,83. Вероятность того, что он прослужит три года или больше, равна 0,56. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше трёх лет, но не менее года. 4) Бросают две игральные кости. Событие А - «на первой кости выпало четное число очков». Событие В «на второй кости выпало число очков больше 4». а) Выпишите все элементарные события, благоприятствующие событию А UB. б) Опишите словами событие А О В. в) Найдите вероятность события А И В. г) Выпишите все элементарные события, благоприятствующие событию А∩B. д) Опишите словами событие А П В. е) Найдите вероятность события А П В.

Решение:

1) Найдём вероятность противоположного события $$P(\overline{A})$$, если $$P(A) = 0,113$$.

Вероятность противоположного события вычисляется по формуле:

$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$.

$$P(\overline{A}) = 1 - 0,113 = 0,887$$.

Ответ: 0,887

---

2) Определим, могут ли события A и B быть противоположными, если $$P(A) = 0,63$$, $$P(B) = 0,27$$.

Если события A и B противоположны, то сумма их вероятностей должна быть равна 1.

$$P(A) + P(B) = 0,63 + 0,27 = 0,9$$.

Так как $$0,9
e 1$$, то события A и B не являются противоположными.

Ответ: нет, не могут

---

3) Вероятность того, что новый принтер прослужит больше года, равна 0,83. Вероятность того, что он прослужит три года или больше, равна 0,56. Найдём вероятность того, что он прослужит меньше трёх лет, но не менее года.

Определим событие C - принтер прослужит больше года и событие D - принтер прослужит три года или больше. Требуется найти вероятность события E - принтер прослужит меньше трех лет, но не менее года.

Вероятность того, что принтер прослужит меньше трех лет, но не менее года, это разница между вероятностью того, что он прослужит больше года и вероятностью того, что он прослужит три года или больше.

$$P(E) = P(C) - P(D) = 0,83 - 0,56 = 0,27$$.

Ответ: 0,27

---

4) Бросают две игральные кости. Событие А - «на первой кости выпало четное число очков». Событие В «на второй кости выпало число очков больше 4».

а) Выпишем все элементарные события, благоприятствующие событию $$A \cup B$$.

Событие $$A \cup B$$ означает, что произошло либо событие А, либо событие В, либо оба события вместе.

Событие A: (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6).

Событие B: (1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6).

Элементарные события, благоприятствующие событию $$A \cup B$$: (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (1,5), (1,6), (3,5), (3,6), (5,5), (5,6).

Ответ: (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (1,5), (1,6), (3,5), (3,6), (5,5), (5,6).

---

б) Опишем словами событие $$A \cup B$$.

Событие $$A \cup B$$ означает, что на первой кости выпало четное число очков, или на второй кости выпало число очков больше 4, или оба события произошли одновременно.

Ответ: на первой кости выпало четное число очков, или на второй кости выпало число очков больше 4, или оба события произошли одновременно.

---

в) Найдем вероятность события $$A \cup B$$.

Общее количество элементарных событий при бросании двух костей равно 36.

Количество элементарных событий, благоприятствующих событию $$A \cup B$$, равно 24.

Вероятность события $$A \cup B$$ равна отношению количества благоприятствующих событий к общему количеству событий.

$$P(A \cup B) = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$$.

Ответ: $$\frac{2}{3}$$

---

г) Выпишем все элементарные события, благоприятствующие событию $$A \cap B$$.

Событие $$A \cap B$$ означает, что произошло и событие А, и событие В одновременно.

Элементарные события, благоприятствующие событию $$A \cap B$$: (2,5), (2,6), (4,5), (4,6), (6,5), (6,6).

Ответ: (2,5), (2,6), (4,5), (4,6), (6,5), (6,6).

---

д) Опишем словами событие $$A \cap B$$.

Событие $$A \cap B$$ означает, что на первой кости выпало четное число очков и на второй кости выпало число очков больше 4.

Ответ: на первой кости выпало четное число очков и на второй кости выпало число очков больше 4.

---

е) Найдем вероятность события $$A \cap B$$.

Общее количество элементарных событий при бросании двух костей равно 36.

Количество элементарных событий, благоприятствующих событию $$A \cap B$$, равно 6.

Вероятность события $$A \cap B$$ равна отношению количества благоприятствующих событий к общему количеству событий.

$$P(A \cap B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$.

Ответ: $$\frac{1}{6}$$