Задание 59. Для правильного треугольника со стороной *a* заполните таблицу.

Решение: Для решения этой задачи, мы воспользуемся следующими формулами для правильного треугольника: * Высота: ( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} ) * Радиус вписанной окружности: ( r = \frac{a\sqrt{3}}{6} ) * Радиус описанной окружности: ( R = \frac{a\sqrt{3}}{3} ) * Площадь: ( S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} ) Заполним таблицу пошагово: 1) Дано: ( a = 7 ) * Периметр: ( P = 3a = 3 \cdot 7 = 21 ) * Высота: ( h = \frac{7\sqrt{3}}{2} ) * Радиус вписанной окружности: ( r = \frac{7\sqrt{3}}{6} ) * Радиус описанной окружности: ( R = \frac{7\sqrt{3}}{3} ) * Площадь: ( S = \frac{7^2\sqrt{3}}{4} = \frac{49\sqrt{3}}{4} ) 2) Дано: ( h = \sqrt{3} ) * Сторона: ( a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 ) * Периметр: ( P = 3a = 3 \cdot 2 = 6 ) * Радиус вписанной окружности: ( r = \frac{2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} ) * Радиус описанной окружности: ( R = \frac{2\sqrt{3}}{3} ) * Площадь: ( S = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} ) 3) Дано: ( R = 4\sqrt{3} ) * Сторона: ( a = \frac{3R}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12 ) * Периметр: ( P = 3a = 3 \cdot 12 = 36 ) * Высота: ( h = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} ) * Радиус вписанной окружности: ( r = \frac{12\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3} ) * Площадь: ( S = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} ) 4) Дано: ( r = 1 ) * Сторона: ( a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} ) * Периметр: ( P = 3a = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} ) * Высота: ( h = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 3 ) * Радиус описанной окружности: ( R = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = 2 ) * Площадь: ( S = \frac{(2\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3} ) 5) Дано: ( h = 4.5\sqrt{3} ) * Сторона: ( a = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 4.5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 9 ) * Периметр: ( P = 3a = 3 \cdot 9 = 27 ) * Радиус вписанной окружности: ( r = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} = 1.5\sqrt{3} = 2,5 ) * Радиус описанной окружности: ( R = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} ) * Площадь: ( S = \frac{9^2\sqrt{3}}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4} = 24,45\sqrt{3} ) 6) Дано: ( a = 4 ) * Периметр: ( P = 3a = 3 \cdot 4 = 12 ) * Высота: ( h = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} ) * Радиус вписанной окружности: ( r = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3} ) * Радиус описанной окружности: ( R = \frac{4\sqrt{3}}{3} ) * Площадь: ( S = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} ) 7) Дано: ( S = 9\sqrt{3} ) * Сторона: ( a = \sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 9\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = \sqrt{36} = 6 ) * Периметр: ( P = 3a = 3 \cdot 6 = 18 ) * Высота: ( h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} ) * Радиус вписанной окружности: ( r = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} ) * Радиус описанной окружности: ( R = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} ) 8) Дано: ( P = 3\sqrt{3} ) * Сторона: ( a = \frac{P}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} ) * Высота: ( h = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 ) * Радиус вписанной окружности: ( r = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ) * Радиус описанной окружности: ( R = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{3} = 1 ) * Площадь: ( S = \frac{(\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4} ) Ответ: Таблица заполнена выше с подробными решениями.