Задание 5. Докажите тождество: a) (a - b)(a + b) = a²-b²; б) (x - y)² = x² - 2xy + y²; в) (x + y)² = x² + 2xy + y²; г) (a - b)(a² + ab + b²) = a³-b³; д) (a + b) (a²-ab+b²) = a³+b³. Задание 6. С помощью рисунка объясните геометрический смысл равенства (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by для положительных a, b, x, y. Задание 7. Докажите тожество: a) x⁴ – (x² – 11)(x² + 11) = 121; б) 28 + (x + 10)(x – 6) = (x – 4)(x + 8); в) x² + x – 4970 = (x – 70)(x + 71). Задание 8. Упростите выражение и найдите его значение: (1,8a¹⁰b⁷) · (5a⁸b³c⁶ – 4,5) : (10a⁹b⁶) – 0,9a⁹b⁴c⁶ при а = 1; b = 2; c = 6,9. Задание 9. Решите уравнение: a) 2x(3x – 9) + 6(x² – 5x) = 0; б) (3x – 5)(4x + 6) – x(12x + 13) = 0; в) (x – 6)(x – 8)(2x – 3) = 0. Задание 10. Докажите тождество различными способами: (x – y – 11)(x – y + 6) = (x – y)² – 5(x – y) – 66.

Задание 5. Докажите тождество:

a) \[ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \]Применим формулу разности квадратов: \[ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \]. Тождество доказано.

б) \[ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \]Применим формулу квадрата разности: \[ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \]. Тождество доказано.

в) \[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]Применим формулу квадрата суммы: \[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \]. Тождество доказано.

г) \[ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \]Применим формулу разности кубов: \[ (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3 \]. Тождество доказано.

д) \[ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \]Применим формулу суммы кубов: \[ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \]. Тождество доказано.

Задание 6. С помощью рисунка объясните геометрический смысл равенства (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by для положительных a, b, x, y.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами (a + b) и (x + y). Площадь этого прямоугольника равна (a + b)(x + y). Разделим этот прямоугольник на четыре меньших прямоугольника со сторонами a и x, a и y, b и x, b и y. Их площади равны ax, ay, bx и by соответственно. Сумма площадей этих прямоугольников равна ax + ay + bx + by. Следовательно, (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by.

Задание 7. Докажите тождество:

а) \[ x^4 - (x^2 - 11)(x^2 + 11) = 121 \]Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов: \[ x^4 - (x^4 - 121) = 121 \]. Упростим выражение: \[ x^4 - x^4 + 121 = 121 \]. Получаем \[ 121 = 121 \]. Тождество доказано.

б) \[ 28 + (x + 10)(x - 6) = (x - 4)(x + 8) \]Раскроем скобки: \[ 28 + x^2 + 4x - 60 = x^2 + 4x - 32 \]. Упростим выражение: \[ x^2 + 4x - 32 = x^2 + 4x - 32 \]. Тождество доказано.

в) \[ x^2 + x - 4970 = (x - 70)(x + 71) \]Раскроем скобки: \[ x^2 + x - 4970 = x^2 + x - 4970 \]. Тождество доказано.

Задание 8. Упростите выражение и найдите его значение: (1,8a¹⁰b⁷) · (5a⁸b³c⁶ – 4,5) : (10a⁹b⁶) – 0,9a⁹b⁴c⁶ при а = 1; b = 2; c = 6,9.

Упростим выражение: \[ \frac{1.8a^{10}b^7(5a^8b^3c^6 - 4.5)}{10a^9b^6} - 0.9a^9b^4c^6 \]\[ = \frac{9a^{10}b^7(a^8b^3c^6 - 0.9)}{10a^9b^6} - 0.9a^9b^4c^6 \]

\[ = 0.9ab(5a^8b^3c^6 - 4.5) - 0.9a^9b^4c^6 \]

\[ = 4.5a^9b^4c^6 - 4.05ab - 0.9a^9b^4c^6 \]

\[ = 3.6a^9b^4c^6 - 4.05ab \]

Подставим значения a = 1, b = 2, c = 6,9: \[ 3.6 \cdot 1^9 \cdot 2^4 \cdot (6.9)^6 - 4.05 \cdot 1 \cdot 2 \]

\[ = 3.6 \cdot 16 \cdot (6.9)^6 - 8.1 \]

\[ = 57.6 \cdot 107773.36 - 8.1 \]

\[ = 6208688.256 - 8.1 = 6208680.15 \]

Задание 9. Решите уравнение:

а) \[ 2x(3x - 9) + 6(x^2 - 5x) = 0 \]Раскроем скобки: \[ 6x^2 - 18x + 6x^2 - 30x = 0 \]. Приведем подобные слагаемые: \[ 12x^2 - 48x = 0 \]. Вынесем общий множитель: \[ 12x(x - 4) = 0 \]. Получаем два решения: x = 0 или x = 4.

б) \[ (3x - 5)(4x + 6) - x(12x + 13) = 0 \]Раскроем скобки: \[ 12x^2 - 20x + 18x - 30 - 12x^2 - 13x = 0 \]. Приведем подобные слагаемые: \[ -15x - 30 = 0 \]. Решим уравнение: \[ -15x = 30 \], \[ x = -2 \].

в) \[ (x - 6)(x - 8)(2x - 3) = 0 \]Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: x - 6 = 0 или x - 8 = 0 или 2x - 3 = 0.

Получаем три решения: x = 6, x = 8, x = 1.5.

Задание 10. Докажите тождество различными способами: (x – y – 11)(x – y + 6) = (x – y)² – 5(x – y) – 66.

Введем замену z = x - y. Тогда тождество примет вид: (z – 11)(z + 6) = z² – 5z – 66. Раскроем скобки в левой части: z² – 11z + 6z – 66 = z² – 5z – 66. Приведем подобные слагаемые: z² – 5z – 66 = z² – 5z – 66. Тождество доказано.

Ответ: Решения выше

Отлично! Ты уверенно справился с этими заданиями. Продолжай в том же духе, и все получится!