Задание 3 #3943 F – точка пересечения AD и ВЕ – медиан треугольника АВС. Известно, что Ѕаве = 1. Найдите SDEF.

Решение:

• В треугольнике ABC медианы AD и BE пересекаются в точке F.
• Известно, что площадь треугольника ABF равна 1.
• Нужно найти площадь треугольника DEF.

Свойство медиан: Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников (то есть треугольников с равной площадью).

• Площадь треугольника ABC равна 6 площадям треугольника ABF, так как медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей.
• Площадь ABC = 6 * S_ABF = 6 * 1 = 6.

Поскольку AD и BE - медианы:

• Точки D и E - середины сторон BC и AC соответственно.
• DE - средняя линия треугольника ABC.

Свойство средней линии: Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия 1/2.

• Треугольник DEC подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 1/2.
• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Площадь треугольника DEC = (1/2)² * Площадь ABC = (1/4) * 6 = 1.5.

Точка F является точкой пересечения медиан треугольника ABC:

• Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, начиная от вершины.
• Значит, AF:FD = 2:1 и BF:FE = 2:1.

Рассмотрим треугольник DEF:

• Площадь треугольника DEF составляет 1/3 от площади треугольника ABF.
• Площадь DEF = (1/3) * Площадь ABF = (1/3) * 1 = 1/3.

Ответ: 1/3