Задание №5. Исследовать знакопеременный ряд на сходимость. 1. Σπ-12+1 (-1) (-1)+1 2. 2n=1 10n+1 3. Σπ=1 4. Σ-1 1+(1-) 6. 20 (-1)+1 (-1)+1 7. Σ1 mm1 +10 (-) 11. Σ=1 (-1)*1 12. Σ 13. Σπ=1 (-1)+1 (-1)+1 8. 20 (-1)+ 9. Σ1 Zn-1 3n+8 (1-) 14. Σπ=1+7 5. Σ (-1) n! (۲) 10. Ση-142-1 15. Σ (1-)

Задание №5. Исследовать знакопеременный ряд на сходимость.

Для исследования сходимости знакопеременных рядов обычно используют признак Лейбница.

Признак Лейбница: знакопеременный ряд \[\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n\] сходится, если:

1. Элементы ряда монотонно убывают по абсолютной величине, то есть \[|a_{n+1}| \le |a_n|\] для всех достаточно больших n.
2. Предел элементов ряда стремится к нулю, то есть \[\lim_{n \to \infty} a_n = 0\].

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то ряд расходится.

1. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+1}\]

   Здесь \[a_n = \frac{1}{n^2+1}\]. Очевидно, что \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2+1} = 0\] и \[\frac{1}{(n+1)^2+1} < \frac{1}{n^2+1}\] для всех n. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

2. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{10n+1}\]

   Здесь \[a_n = \frac{1}{10n+1}\]. Очевидно, что \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{10n+1} = 0\] и \[\frac{1}{10(n+1)+1} < \frac{1}{10n+1}\] для всех n. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

3. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}\]

   Здесь \[a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}\]. Очевидно, что \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0\] и \[\frac{1}{\sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n}}\] для всех n. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

4. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{7n-2}\]

   Здесь \[a_n = \frac{n}{7n-2}\]. Предел \[\lim_{n \to \infty} \frac{n}{7n-2} = \frac{1}{7}
   eq 0\]. Следовательно, ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости.

5. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\]

   Здесь \[a_n = \frac{1}{n!}\]. Очевидно, что \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n!} = 0\] и \[\frac{1}{(n+1)!} < \frac{1}{n!}\] для всех n. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

6. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}n}{5n-1}\]

   Здесь \[a_n = \frac{n}{5n-1}\]. Предел \[\lim_{n \to \infty} \frac{n}{5n-1} = \frac{1}{5}
   eq 0\]. Следовательно, ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости.

7. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n+10}\]

   Здесь \[a_n = \frac{1}{n+10}\]. Очевидно, что \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+10} = 0\] и \[\frac{1}{n+11} < \frac{1}{n+10}\] для всех n. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

8. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n^2}{n^3+1}\]

   Здесь \[a_n = \frac{n^2}{n^3+1}\]. Очевидно, что \[\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^3+1} = 0\] и \[\frac{(n+1)^2}{(n+1)^3+1} < \frac{n^2}{n^3+1}\] для всех достаточно больших n. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

9. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{3n+8}\]

   Здесь \[a_n = \frac{1}{3n+8}\]. Очевидно, что \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{3n+8} = 0\] и \[\frac{1}{3(n+1)+8} < \frac{1}{3n+8}\] для всех n. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

10. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n^2}{4n^2-1}\]

    Здесь \[a_n = \frac{n^2}{4n^2-1}\]. Предел \[\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{4n^2-1} = \frac{1}{4}
    eq 0\]. Следовательно, ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости.

11. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n^2}{n^2+4}\]

    Здесь \[a_n = \frac{n^2}{n^2+4}\]. Предел \[\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+4} = 1
    eq 0\]. Следовательно, ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости.

12. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n+5}\]

    Здесь \[a_n = \frac{1}{2n+5}\]. Очевидно, что \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n+5} = 0\] и \[\frac{1}{2(n+1)+5} < \frac{1}{2n+5}\] для всех n. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

13. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n}}\]

    Здесь \[a_n = \frac{1}{\sqrt[3]{n}}\]. Очевидно, что \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n}} = 0\] и \[\frac{1}{\sqrt[3]{n+1}} < \frac{1}{\sqrt[3]{n}}\] для всех n. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

14. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2+7}\]

    Здесь \[a_n = \frac{1}{n^2+7}\]. Очевидно, что \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2+7} = 0\] и \[\frac{1}{(n+1)^2+7} < \frac{1}{n^2+7}\] для всех n. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

15. \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{4n+1}}\]

    Здесь \[a_n = \frac{1}{\sqrt{4n+1}}\]. Очевидно, что \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{4n+1}} = 0\] и \[\frac{1}{\sqrt{4(n+1)+1}} < \frac{1}{\sqrt{4n+1}}\] для всех n. Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.