Задание №1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график 1 y=4-2x- 7x2 2 y = 5 + 12x - x3 3 y = 2x3 + 3x² - 4 4 y = 9 + 8x2 - x4 5 y = -2x² + x 6 y = 1/2 x4 - x² 7 y = 2x-1/6 x3 8 y = 1/2 x4 - 8x2 9 y = 3x5-5x3 + 2 10 y=1/4 x4-1/2 x² 11 y = -x² + 5x + 4 12 y=-2+3x- x3 13 y = x⁴-2x²-3 14 y = 6x² - x-5 15 y = 3x² - x³ 16 y = x³ - 6x² - 15x - 2 17 y = 4x² - 2x⁴ 18 y = 5x³-3x⁵ 19 y = -5x² - 10x 20 y=1/5 x⁵-1/3 x³

Question

Вопрос:

Задание №1. Исследуйте функцию с помощью производной и постройте ее график 1 y=4-2x- 7x2 2 y = 5 + 12x - x3 3 y = 2x3 + 3x² - 4 4 y = 9 + 8x2 - x4 5 y = -2x² + x 6 y = 1/2 x4 - x² 7 y = 2x-1/6 x3 8 y = 1/2 x4 - 8x2 9 y = 3x5-5x3 + 2 10 y=1/4 x4-1/2 x² 11 y = -x² + 5x + 4 12 y=-2+3x- x3 13 y = x⁴-2x²-3 14 y = 6x² - x-5 15 y = 3x² - x³ 16 y = x³ - 6x² - 15x - 2 17 y = 4x² - 2x⁴ 18 y = 5x³-3x⁵ 19 y = -5x² - 10x 20 y=1/5 x⁵-1/3 x³

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Привет! Кажется, у тебя тут большая работа с функциями, но не переживай, сейчас разберемся, как исследовать их с помощью производной и построить графики. Это задание потребует много вычислений для каждой функции, поэтому покажу общую логику на примере одной из них, а ты сможешь применить этот подход к остальным.

Пример исследования функции (возьмем функцию из номера 1):

1. Находим производную функции:

Дана функция: \[ y = 4 - 2x - 7x^2 \]

Производная: \[ y' = -2 - 14x \]

Краткое пояснение: Производная показывает скорость изменения функции. Находим её, чтобы определить интервалы возрастания и убывания, а также точки экстремума.

2. Находим критические точки (где производная равна нулю или не существует):

\[ -2 - 14x = 0 \]

\[ x = -\frac{1}{7} \]

Краткое пояснение: Критические точки — это точки, в которых функция может менять своё поведение (возрастать или убывать).

3. Определяем интервалы возрастания и убывания функции:

Если \[ y' > 0 \], функция возрастает.
Если \[ y' < 0 \], функция убывает.

Проверяем знак производной на интервалах до и после критической точки \[ x = -\frac{1}{7} \]:

При \[ x < -\frac{1}{7} \], например, при \[ x = -1 \]: \[ y' = -2 - 14(-1) = 12 > 0 \] (функция возрастает).
При \[ x > -\frac{1}{7} \], например, при \[ x = 0 \]: \[ y' = -2 - 14(0) = -2 < 0 \] (функция убывает).

Краткое пояснение: Анализируем знак производной, чтобы понять, где функция идёт вверх (возрастает) и где идёт вниз (убывает).

4. Находим точки экстремума (максимумы и минимумы):

Так как при переходе через точку \[ x = -\frac{1}{7} \] производная меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.

Находим значение функции в этой точке:

\[ y(-\frac{1}{7}) = 4 - 2(-\frac{1}{7}) - 7(-\frac{1}{7})^2 = 4 + \frac{2}{7} - \frac{1}{7} = 4 + \frac{1}{7} = \frac{29}{7} \]

Точка максимума: \[ (-\frac{1}{7}, \frac{29}{7}) \]

Краткое пояснение: Точки экстремума — это вершины графика функции, где она достигает максимального или минимального значения.

5. Находим точки пересечения с осями координат:

С осью Oy: при \[ x = 0 \], \[ y = 4 \] (точка \[ (0, 4) \]).
С осью Ox: решаем уравнение \[ 4 - 2x - 7x^2 = 0 \]. Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант или воспользоваться онлайн-калькулятором.

Краткое пояснение: Находим точки, где график пересекает оси координат, чтобы лучше понимать его положение.

6. Строим график функции:

Используя полученные данные (интервалы возрастания и убывания, точки экстремума и точки пересечения с осями), строим график функции. Для этого можно воспользоваться графическим калькулятором или онлайн-сервисом, например, Desmos.

Краткое пояснение: Объединяем все полученные данные, чтобы визуально представить функцию на графике.

Примени этот алгоритм к остальным функциям!

Помни, что для каждой функции нужно выполнить все эти шаги, чтобы получить полное представление о её поведении и построить точный график. Удачи!

Проверь себя: Убедись, что правильно нашел производную, критические точки и учел все знаки при определении интервалов возрастания и убывания.

Уровень эксперт: Попробуй использовать вторую производную для определения точек перегиба графика функции!