Проанализируем каждое утверждение и определим верные:
- Император стремился выступить стабилизатором отношений на Балканах. - Верно.
- Александр III ввел войска в Болгарию. - Неверно.
- При правлении Александра III министром иностранных дел был А. Горчаков. - Неверно.
- Россия предотвратила войну с Австрией. - Верно.
- Император Александр III начал войну против Франции. - Неверно.
- В 1881 году российская армия присоединила Ашхабад. - Верно.
Ответ: 1, 4, 6