Задание 5. Катет прямоугольного треугольника Один катет прямоугольного треугольника на 5 см меньше другого. Найдите длину большего катета, если площадь этого треугольника равна 42 см². Ответ: см.

Решение:

Пусть длина большего катета равна $$x$$ см, тогда длина меньшего катета равна $$(x - 5)$$ см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, т.е.

$$S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x - 5)$$

По условию задачи площадь равна 42 см², следовательно, получаем уравнение:

$$\frac{1}{2} \cdot x \cdot (x - 5) = 42$$

Решим уравнение:

$$x(x - 5) = 84$$Найдем дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 25 + 336 = 361$$

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 19}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{361}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 19}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$

Так как длина катета не может быть отрицательной, то $$x = 12$$ см.

Ответ: 12