Задание 5: На рисунке PN=NT, РК - биссектриса угла МРТ, \( \angle NPT = 70^{\circ} \), \( \angle PKM = 55^{\circ} \). Докажите, что прямые РТ и МК параллельны.

Дано: PN = NT, РК - биссектриса \( \angle MPT \), \( \angle NPT = 70^{\circ} \), \( \angle PKM = 55^{\circ} \). Доказать: PT || MK. Доказательство: 1. Т.к. PN = NT, то \( \triangle PNT \) - равнобедренный с основанием PT. 2. В равнобедренном \( \triangle PNT \) углы при основании равны: \( \angle NPT = \angle NTP = 70^{\circ} \). 3. Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \). Следовательно, \( \angle PNT = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 70^{\circ}) = 40^{\circ} \). 4. \( \angle MPT \) является смежным с углом \( \angle NPT \), поэтому \( \angle MPT = 180^{\circ} - \angle NPT = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \). 5. Т.к. РК - биссектриса угла \( \angle MPT \), то \( \angle KPT = \frac{1}{2} \angle MPT = \frac{1}{2} \cdot 110^{\circ} = 55^{\circ} \). 6. Углы \( \angle KPT \) и \( \angle PKM \) являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PT и MK и секущей PK. Поскольку \( \angle KPT = \angle PKM = 55^{\circ} \), то прямые PT и MK параллельны (по признаку параллельности прямых). Что и требовалось доказать.