Задание №1: Найдите дисперсию, математическое ожидание и среднее квадратичное случайной величины случайной величины Х, построить многоугольник распределения.

Привет, ученик! Давай вместе решим эту задачу. Нам нужно найти дисперсию, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение для каждой случайной величины X. Для начала, давай вспомним основные формулы: 1. Математическое ожидание (E(X)): \[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i * p_i \] где \( x_i \) - значение случайной величины, \( p_i \) - вероятность этого значения. 2. Дисперсия (D(X)): \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] где \( E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 * p_i \) 3. Среднее квадратичное отклонение (σ(X)): \[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} \] Теперь давай применим эти формулы к каждому варианту. Вариант 1: X: -1, -2, -3, -10, -12, -20, -30, -40 P: 0.1, 0.1, 0.1, 0.09, 0.3, 0.009, 0.3, 0.001 1. Математическое ожидание: \[ E(X) = (-1*0.1) + (-2*0.1) + (-3*0.1) + (-10*0.09) + (-12*0.3) + (-20*0.009) + (-30*0.3) + (-40*0.001) \] \[ E(X) = -0.1 - 0.2 - 0.3 - 0.9 - 3.6 - 0.18 - 9 - 0.04 = -14.32 \] 2. \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = (1*0.1) + (4*0.1) + (9*0.1) + (100*0.09) + (144*0.3) + (400*0.009) + (900*0.3) + (1600*0.001) \] \[ E(X^2) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 9 + 43.2 + 3.6 + 270 + 1.6 = 328.8 \] 3. Дисперсия: \[ D(X) = 328.8 - (-14.32)^2 \] \[ D(X) = 328.8 - 205.0624 = 123.7376 \] 4. Среднее квадратичное отклонение: \[ \sigma(X) = \sqrt{123.7376} \approx 11.1237 \] Теперь давай сделаем то же самое для остальных вариантов: Вариант 2: X: -1, -2, -3, -10, -12, -20, -30, -40 P: 0.2, 0.3, 0.2, 0.06, 0.1, 0.006, 0.1, 0.034 1. Математическое ожидание: \[ E(X) = (-1*0.2) + (-2*0.3) + (-3*0.2) + (-10*0.06) + (-12*0.1) + (-20*0.006) + (-30*0.1) + (-40*0.034) \] \[ E(X) = -0.2 - 0.6 - 0.6 - 0.6 - 1.2 - 0.12 - 3 - 1.36 = -7.68 \] 2. \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = (1*0.2) + (4*0.3) + (9*0.2) + (100*0.06) + (144*0.1) + (400*0.006) + (900*0.1) + (1600*0.034) \] \[ E(X^2) = 0.2 + 1.2 + 1.8 + 6 + 14.4 + 2.4 + 90 + 54.4 = 170.4 \] 3. Дисперсия: \[ D(X) = 170.4 - (-7.68)^2 \] \[ D(X) = 170.4 - 58.9824 = 111.4176 \] 4. Среднее квадратичное отклонение: \[ \sigma(X) = \sqrt{111.4176} \approx 10.5554 \] Вариант 3: X: -1, -2, -3, -10, -12, -20, -30, -40 P: 0.1, 0.3, 0.1, 0.005, 0.1, 0.005, 0.3, 0.09 1. Математическое ожидание: \[ E(X) = (-1*0.1) + (-2*0.3) + (-3*0.1) + (-10*0.005) + (-12*0.1) + (-20*0.005) + (-30*0.3) + (-40*0.09) \] \[ E(X) = -0.1 - 0.6 - 0.3 - 0.05 - 1.2 - 0.1 - 9 - 3.6 = -14.95 \] 2. \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = (1*0.1) + (4*0.3) + (9*0.1) + (100*0.005) + (144*0.1) + (400*0.005) + (900*0.3) + (1600*0.09) \] \[ E(X^2) = 0.1 + 1.2 + 0.9 + 0.5 + 14.4 + 2 + 270 + 144 = 433.1 \] 3. Дисперсия: \[ D(X) = 433.1 - (-14.95)^2 \] \[ D(X) = 433.1 - 223.5025 = 209.5975 \] 4. Среднее квадратичное отклонение: \[ \sigma(X) = \sqrt{209.5975} \approx 14.4775 \] Вариант 4: X: -1, -2, -3, -10, -12, -20, -30, -40 P: 0.2, 0.4, 0.1, 0.002, 0.1, 0.09, 0.1, 0.008 1. Математическое ожидание: \( E(X) = (-1*0.2) + (-2*0.4) + (-3*0.1) + (-10*0.002) + (-12*0.1) + (-20*0.09) + (-30*0.1) + (-40*0.008) \) \( E(X) = -0.2 - 0.8 - 0.3 - 0.02 - 1.2 - 1.8 - 3 - 0.32 = -7.64 \) 2. \( E(X^2) \): \( E(X^2) = (1*0.2) + (4*0.4) + (9*0.1) + (100*0.002) + (144*0.1) + (400*0.09) + (900*0.1) + (1600*0.008) \) \( E(X^2) = 0.2 + 1.6 + 0.9 + 0.2 + 14.4 + 36 + 90 + 12.8 = 156.1 \) 3. Дисперсия: \( D(X) = 156.1 - (-7.64)^2 \) \( D(X) = 156.1 - 58.3696 = 97.7304 \) 4. Среднее квадратичное отклонение: \( \sigma(X) = \sqrt{97.7304} \approx 9.8859 \) Вариант 5: X: -1, -2, -3, -10, -12, -20, -30, -40 P: 0.1, 0.2, 0.1, 0.008, 0.2, 0.09, 0.3, 0.002 1. Математическое ожидание: \( E(X) = (-1*0.1) + (-2*0.2) + (-3*0.1) + (-10*0.008) + (-12*0.2) + (-20*0.09) + (-30*0.3) + (-40*0.002) \) \( E(X) = -0.1 - 0.4 - 0.3 - 0.08 - 2.4 - 1.8 - 9 - 0.08 = -14.16 \) 2. \( E(X^2) \): \( E(X^2) = (1*0.1) + (4*0.2) + (9*0.1) + (100*0.008) + (144*0.2) + (400*0.09) + (900*0.3) + (1600*0.002) \) \( E(X^2) = 0.1 + 0.8 + 0.9 + 0.8 + 28.8 + 36 + 270 + 3.2 = 340.6 \) 3. Дисперсия: \( D(X) = 340.6 - (-14.16)^2 \) \( D(X) = 340.6 - 200.5056 = 140.0944 \) 4. Среднее квадратичное отклонение: \( \sigma(X) = \sqrt{140.0944} \approx 11.8361 \) Вариант 6: X: -1, -2, -3, -10, -12, -20, -30, -40 P: 0.3, 0.2, 0.1, 0.003, 0.2, 0.095, 0.1, 0.002 1. Математическое ожидание: \( E(X) = (-1*0.3) + (-2*0.2) + (-3*0.1) + (-10*0.003) + (-12*0.2) + (-20*0.095) + (-30*0.1) + (-40*0.002) \) \( E(X) = -0.3 - 0.4 - 0.3 - 0.03 - 2.4 - 1.9 - 3 - 0.08 = -8.41 \) 2. \( E(X^2) \): \( E(X^2) = (1*0.3) + (4*0.2) + (9*0.1) + (100*0.003) + (144*0.2) + (400*0.095) + (900*0.1) + (1600*0.002) \) \( E(X^2) = 0.3 + 0.8 + 0.9 + 0.3 + 28.8 + 38 + 90 + 3.2 = 165.1 \) 3. Дисперсия: \( D(X) = 165.1 - (-8.41)^2 \) \( D(X) = 165.1 - 70.7281 = 94.3719 \) 4. Среднее квадратичное отклонение: \( \sigma(X) = \sqrt{94.3719} \approx 9.7145 \) Для построения многоугольника распределения, тебе нужно отметить значения X на оси абсцисс и соответствующие вероятности P на оси ординат, а затем соединить точки отрезками.

Ответ: Расчеты выполнены для каждого варианта.