Задание 61. Найдите х и у, используя данные рисунка. 1) B 6 C A X D 4 2) M21 8 3 K X C 3) F 3.5 X 7 Q H P 4) B 8 X N 7 A F 10 5) F 27 15 DH X AVH D 14 6) K 9 y 12 X N M 6 7) F 32 H X y D 24 K 8) PMCS = 40. 15 9 X C XRY S 9) ΡAΜΚΡ = x. K 9 L A 8 6 P M 10) PADEK = x. E 9 D K 10,5 F 7

Краткое пояснение:

1)

По свойству биссектрисы имеем пропорцию: \[\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DC}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{9}{x} = \frac{6}{4}\]

Решаем уравнение: \[6x = 9 \cdot 4\]

\[6x = 36\]

\[x = \frac{36}{6}\]

\[x = 6\]

Ответ: x = 6

2)

По свойству биссектрисы имеем пропорцию: \[\frac{KM}{ML} = \frac{KC}{LC}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{8}{2} = \frac{x}{3}\]

Решаем уравнение: \[2x = 8 \cdot 3\]

\[2x = 24\]

\[x = \frac{24}{2}\]

\[x = 12\]

Ответ: x = 12

3)

По свойству биссектрисы имеем пропорцию: \[\frac{PQ}{QF} = \frac{PH}{HF}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{8}{x} = \frac{3.5}{7}\]

Решаем уравнение: \[3.5x = 8 \cdot 7\]

\[3.5x = 56\]

\[x = \frac{56}{3.5}\]

\[x = 16\]

Ответ: x = 16

4)

По свойству биссектрисы имеем пропорцию: \[\frac{BN}{NF} = \frac{BA}{AF}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{8}{x} = \frac{8}{10}\]

Решаем уравнение: \[8x = 8 \cdot 10\]

\[8x = 80\]

\[x = \frac{80}{8}\]

\[x = 10\]

Ответ: x = 10

5)

По свойству биссектрисы имеем пропорцию: \[\frac{DF}{FA} = \frac{DH}{HA}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{15}{27} = \frac{x}{14-x}\]

Решаем уравнение: \[27x = 15(14-x)\]

\[27x = 210 - 15x\]

\[27x + 15x = 210\]

\[42x = 210\]

\[x = \frac{210}{42}\]

\[x = 5\]

\[y = 14 - x = 14 - 5 = 9\]

Ответ: x = 5; y = 9

6)

По свойству биссектрисы имеем пропорцию: \[\frac{MK}{KN} = \frac{MC}{CN}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{6}{9} = \frac{x}{12}\]

Решаем уравнение: \[9x = 6 \cdot 12\]

\[9x = 72\]

\[x = \frac{72}{9}\]

\[x = 8\]

Ответ: x = 8

7)

По свойству биссектрисы имеем пропорцию: \[\frac{DK}{KF} = \frac{DH}{HF}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{32}{24} = \frac{x}{y}\]

Выразим y через x, зная, что периметр треугольника DFK равен 70: \[32 + 24 + x + y = 70\]

\[56 + x + y = 70\]

\[x + y = 14\]

\[y = 14 - x\]

Теперь подставим это в пропорцию: \[\frac{32}{24} = \frac{x}{14-x}\]

Решаем уравнение: \[24x = 32(14 - x)\]

\[24x = 448 - 32x\]

\[24x + 32x = 448\]

\[56x = 448\]

\[x = \frac{448}{56}\]

\[x = 8\]

\[y = 14 - 8 = 6\]

Ответ: x = 8; y = 6

8)

По свойству биссектрисы имеем пропорцию: \[\frac{CR}{RY} = \frac{CA}{AY}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{x}{9} = \frac{15}{y}\]

Выразим y через x, зная, что периметр треугольника MCS равен 40: \[15 + 9 + x + y = 40\]

\[24 + x + y = 40\]

\[x + y = 16\]

\[y = 16 - x\]

Теперь подставим это в пропорцию: \[\frac{x}{9} = \frac{15}{16-x}\]

Решаем уравнение: \[15 \cdot 9 = x \cdot (16-x)\]

\[135 = 16x - x^2\]

\[x^2 - 16x + 135 = 0\]

Решаем квадратное уравнение: \[x^2-16x+135=0\]

\[D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 135 = 256 - 540 = -284\]

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней. Вероятно, в условии допущена ошибка.

Допустим, что периметр P = 40 это периметр треугольника ARY. Тогда \[9+y+x = 40\] \[y = 31 - x\] \[\frac{x}{9} = \frac{15}{31-x}\] \[4x^2 - 16x + 135 = 0\] \[x^2 - 31x + 135 = 0\] \[D = (-31)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 135 = 961 - 540 = 421\] \[x_1 = \frac{31 + \sqrt{421}}{2} \approx 26.76\] \[x_2 = \frac{31 - \sqrt{421}}{2} \approx 4.24\]

Тогда \[y_1 = 31 - 26.76 = 4.24\] \[y_2 = 31 - 4.24 = 26.76\]

Ответ: x = 4.24; y = 26.76 или x = 26.76; y = 4.24

9)

По свойству биссектрисы имеем пропорцию: \[\frac{MK}{KL} = \frac{MP}{PL}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{8}{9} = \frac{x}{6}\]

Решаем уравнение: \[9x = 8 \cdot 6\]

\[9x = 48\]

\[x = \frac{48}{9}\]

\[x = \frac{16}{3}\]

\[x = 5\frac{1}{3}\]

Ответ: x = 5\frac{1}{3}

10)

По свойству биссектрисы имеем пропорцию: \[\frac{DE}{EF} = \frac{DK}{KF}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{9}{10.5} = \frac{x}{7}\]

Решаем уравнение: \[10.5x = 9 \cdot 7\]

\[10.5x = 63\]

\[x = \frac{63}{10.5}\]

\[x = 6\]

Ответ: x = 6